(30 pontos) Utilize os cofatores da linha 3 para calcular o determinante da matriz
M=(cccc -1 & 3 & 2 & 0 2 & 2 & 5 & 7 4 & 7 & 0 & 0 -8 & 3 & 3 & 3 )

Passo 1

O enunciado pede o determinante de
M = -1 & 3 & 2 & 0 2 & 2 & 5 & 7 4 & 7 & 0 & 0 -8 & 3 & 3 & 3
usando a expansão por cofatores na linha 3. Vamos empregar a definição de menor e cofator: se mij é o elemento da linha i, coluna j, então
det M ;=;sumj=1^4 m3j,C3j,
onde
C3j = (-1)^3+j,M3j
e M3j é o determinante do submatriz obtido eliminando a linha 3 e a coluna j.

Passo 2

Na linha 3 só há dois elementos não nulos: ;m31=4 e ;m32=7. Logo
det M = m31,C31 + m32,C32
Vamos calcular C31 e C32 separadamente.

Passo 3

Menor M31: eliminar linha 3 e coluna 1, sobra a matriz
3 & 2 & 0 2 & 5 & 7 3 & 3 & 3 .
O determinante desse 3times3 é
M31 &=3cdotdet5&73&3 ;- ;2cdotdet2&73&3 ;+ ;0cdot(cdots)[6pt] &=3l(5cdot3-7cdot3r)-2l(2cdot3-7cdot3r) &=3(-6)-2(-15)=-18+30=12
O cofator é
C31=(-1)^3+1M31=+1cdot12=12
]

Passo 4

Menor M32: eliminar linha 3 e coluna 2, sobra a matriz
-1 & 2 & 0 2 & 5 & 7 -8 & 3 & 3 .
Calculando o determinante,
M32 &=-1cdotdet5&73&3 ;- ;2cdotdet2&7-8&3 ;+ ;0cdot(cdots)[6pt] &=-1(15-21)-2(2cdot3-7cdot(-8)) &=-1(-6)-2(6+56) &=6-124=-118
O cofator é
C32=(-1)^3+2M32=-1cdot(-118)=118
]

Passo 5

Agora substituímos em
det M = m31,C31 + m32,C32 =4cdot12 + 7cdot118 =48 + 826 =874

Resposta

O determinante da matriz M é 874.

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