Questão 6 - (0,25) : Calcule a distância da reta
r:l x=3 y=4
ao plano xOz

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a distância da reta r definida por x=3 e y=4 ao plano xOz. O conteúdo envolve distância entre reta e plano, e para isso a gente vai precisar lembrar da fórmula de distância de um ponto a um plano e também de como identificar se uma reta é paralela a um plano.

Passo 2

Para isso, vamos colocar a reta em forma paramétrica. A reta r pode ser escrita como:
x=3, y=4, z=t

Passo 3

O plano xOz consiste em todos os pontos cujo y=0. Então a equação do plano é y=0, e o vetor normal a ele é n=(0,1,0).

Passo 4

O vetor direção da reta a partir da forma paramétrica é v=(0,0,1). Pra saber se a reta é paralela ao plano, a gente confere se vcdotn=0. A conta fica assim:
vcdotn = (0,0,1)cdot(0,1,0) = 0
Como o resultado é zero, a reta é paralela ao plano e a distância é constante, igual à distância de qualquer ponto da reta até o plano.

Passo 5

Agora, escolhemos um ponto da reta para calcular essa distância; por exemplo, para t=0 a gente tem o ponto A=(3,4,0). A fórmula de distância de um ponto (x0,y0,z0) ao plano ax+by+cz+d=0 é:
dist = |ax0 + by0 + cz0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 6

Aplicando no nosso caso, o plano y=0 tem a=0, b=1, c=0 e d=0. Substituindo o ponto A=(3,4,0) na fórmula, vem:
dist = |0cdot3 + 1cdot4 + 0cdot0 + 0|raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 41 = 4

Resposta

4

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