Questão 2 - (0,25) : Determinar o ângulo formado pela reta
r:l y=-2 x z=2 x+1 e o plano pi: x-y+5=0

Passo 1

O exercício pede pra gente achar o ângulo entre a reta r e o plano π. Isso é parte de Geometria Analítica e a gente vai precisar do vetor diretor da reta, do vetor normal do plano, produto escalar, norma de vetores e a relação entre esses valores e o seno do ângulo entre reta e plano.

Passo 2

Primeiro a gente identifica o vetor diretor da reta r. A reta é dada por x=t, y=–2t, z=2t+1. O que importa pra direção é como variam x, y e z em função de t. Daí vem o vetor diretor v=(1,–2,2).

Passo 3

Agora a gente pega o vetor normal do plano π. O plano é dado por x–y+5=0. Aqui, o coeficiente de x é 1, de y é –1 e de z é 0. Então o vetor normal é n=(1,–1,0).

Passo 4

Pra achar o ângulo α entre a reta e o plano usamos a fórmula
sin(α)=|vcdot n||v|,|n|
onde v·n é o produto escalar e |v|, |n| são as normas.

Passo 5

Vamos calcular cada parte: v·n=1·1+(–2)·(–1)+2·0=3, |v|=√(1²+(-2)²+2²)=3 e |n|=√(1²+(-1)²+0²)=√2. Então
sin(α)=33raiz2=1raiz2
Logo α=arcsin(1/√2)=45°.

Resposta

45°

Exercícios relacionados