(20 pontos) Resolva o sistema (determine o conjunto solução)
l 3 x-y+7 z=0 2 x-y+4 z=12 x-y+z=1 6 x-4 y+10 z=3

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de quatro equações lineares em três incógnitas x,y,z:
3x - y + 7z = 0, 2x - y + 4z = tfrac12, x - y + z = 1, 6x - 4y + 10z = 3
Vamos usar eliminação de variáveis para determinar uma representação paramétrica da solução e verificar a consistência do sistema.

Passo 2

Subtraindo a terceira equação da segunda para eliminar y, obtemos
(2x - y + 4z) - (x - y + z) = tfrac12 - 1
o que leva a
x + 3z = -tfrac12

Passo 3

Da equação x + 3z = -tfrac12 isolamos
x = -tfrac12 - 3z
Substituindo em x - y + z = 1 resulta
(-tfrac12 - 3z) - y + z = 1
e, rearranjando, achamos
y = -tfrac32 - 2z

Passo 4

Substituindo x = -tfrac12 - 3z e y = -tfrac32 - 2z nas equações restantes, vemos que tanto
3x - y + 7z = 0
quanto
6x - 4y + 10z = 3
ficam identicamente satisfeitas, sem gerar novas condições sobre z.

Passo 5

Concluímos que z é parâmetro livre e que as soluções do sistema formam uma reta no espaço, dada por
(x,y,z) = l(-tfrac12 - 3z,,-tfrac32 - 2z,,zr), zinR

Resposta

(x,y,z)mid x=-tfrac12-3t,;y=-tfrac32-2t,;z=t,;tinR

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