Considere a função f(x)=\frac{5}{(x-1)\left(x^{2}+4\right)}.
a. (1,0) Escreva a forma da decomposição em frações parciais de \boldsymbol{f}.
b. (1,0) Calcule a integral \int f(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função
f(x)=\frac{5}{(x-1)(x^2+4)}.
Primeiro, queremos escrever a decomposição em frações parciais de f. Isso envolve expressar uma fração racional cujo denominador é o produto de um fator linear (x-1) e um fator quadrático irreduzível (x^2+4) como soma de frações mais simples do tipo
\frac{A}{x-1} \quad\text{e}\quad \frac{Bx+C}{x^2+4}.
Em seguida, usando essa decomposição, calculamos a integral
\int f(x)\,dx.

Passo 2

Escrevemos a forma geral da decomposição em frações parciais:
\frac{5}{(x-1)(x^2+4)} =\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}.
A ideia é encontrar constantes A, B e C que satisfaçam essa igualdade para todo x\neq1.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x^2+4)\) para eliminar denominadores: \[5 = A\,(x^2+4)+(Bx+C)\,(x-1).
Expandindo o lado direito:
5 = A x^2 + 4A + Bx^2 - Bx + Cx - C = (A+B)\,x^2 + (C - B)\,x + (4A - C).
Comparando coeficientes de x^2, x e constante, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\\ C - B = 0,\\\\ 4A - C = 5. \end{cases}
Da primeira equação B=-A\]. Da segunda \(C=B, mas como B=-A vem C=-A.
Substituindo na terceira:
4A - (-A) = 5 \quad\Longrightarrow\quad 5A = 5 \quad\Longrightarrow\quad A = 1.
Logo B=-1 e C=-1.

Passo 4

Substituindo A, B e C na forma parcial, obtemos
\frac{5}{(x-1)(x^2+4)} =\frac{1}{x-1}+\frac{-x -1}{x^2+4} =\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+4}.

Passo 5

Para calcular
\int f(x)\,dx =\int\frac{1}{x-1}\,dx -\int\frac{x}{x^2+4}\,dx -\int\frac{1}{x^2+4}\,dx,
usamos resultados básicos:
  1. \displaystyle\int\frac{1}{x-1}\,dx=\ln\bigl|x-1\bigr|.
  2. \displaystyle\int\frac{x}{x^2+4}\,dx=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^2+4\bigr), pois se faz u=x^2+4.
  3. \displaystyle\int\frac{1}{x^2+4}\,dx=\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr), lembrando que \int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan(x/a).
Somando tudo com o sinal certo, temos
\int f(x)\,dx =\ln\bigl|x-1\bigr| -\frac{1}{2}\ln\bigl(x^2+4\bigr) -\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Resposta

a. \displaystyle\frac{5}{(x-1)(x^2+4)} =\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+4}.
b. \displaystyle\int f(x)\,dx =\ln\bigl|x-1\bigr| -\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^2+4\bigr) -\tfrac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

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