( \mathbf{1 , 0} ponto) Um trem de 60 lugares foi fretado para uma excursão. A empresa exigiu de cada passageiro R$80,00 mais R$ 4,00 por lugar vago. Qual o número de passageiros para que a rentabilidade da empresa seja máxima?

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a receita de uma empresa de transporte que fretou um trem com 60 lugares. Cada passageiro paga R$80,00 mais R$ 4,00 por cada lugar que ficar vazio. O conteúdo aqui é otimização de uma função quadrática de uma variável inteira x (número de passageiros).

Passo 2

Seja x o número de passageiros (logo 0\le x\le 60). Cada passageiro paga um valor que depende de quantos lugares estão vagos. Como há 60 - x lugares vazios, o preço por passageiro é
80 + 4\,(60 - x).

Passo 3

A receita total R(x) é o número de passageiros vezes o preço de cada um. Assim,
R(x) = x \,\bigl[80 + 4\,(60 - x)\bigr] = x \,\bigl(80 + 240 - 4x\bigr) = 320x - 4x^2.
Isso é uma parábola que abre para baixo (coeficiente de x^2 negativo).

Passo 4

Para uma parábola R(x)=ax^2+bx+c com a<0, o valor máximo ocorre no vértice x = -\tfrac{b}{2a}. Aqui a=-4 e b=320, logo
x = -\frac{320}{2\cdot(-4)} = -\frac{320}{-8} = 40.
Como 40 está no intervalo permitido [0,60], é esse o número ótimo de passageiros.

Resposta

40 passageiros.

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