[20 pontos] Considere a equação diferencial autônoma de primeira ordem y^prime=3 y^2-y^3.
(a) Encontre as soluções de equilibrio e classifique (estáveis, instáveis ou semiestáveis). Represente a linha de fase.
(b) Considere o Problema de Valor Inicial y^prime=3 y^2-y^3, y(0)=y0,
(i) Para y0<0, calcule o lim x infty y(x).
(ii) para 0<y0<1, calcule o lim x infty y(x).
[Observe que nesta questão NÃO deve calcular a solução da e.d.o]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equações diferenciais autônomas de primeira ordem. A equação que temos é y' = 3y^2 - y^3 . Vamos precisar entender sobre soluções de equilíbrio e como classificá-las como estáveis, instáveis ou semiestáveis. Também vamos precisar analisar o comportamento das soluções para diferentes condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as soluções de equilíbrio. As soluções de equilíbrio são os valores de y que fazem com que y' = 0 . Ou seja, precisamos resolver a equação:
3y^2 - y^3 = 0

Passo 3

Fatorando a equação, temos:
y^2(3 - y) = 0
Isso nos dá duas soluções de equilíbrio:
  1. y = 0
  2. y = 3

Passo 4

Agora, vamos classificar essas soluções de equilíbrio. Para isso, analisamos a derivada de f(y) = 3y^2 - y^3 em cada ponto de equilíbrio.
Calculando f'(y) :
f'(y) = 6y - 3y^2
Agora, avaliamos f'(y) nas soluções de equilíbrio:
  1. Para y = 0 :
f'(0) = 6(0) - 3(0)^2 = 0
Isso indica que y = 0 pode ser semiestável.
  1. Para y = 3 :
f'(3) = 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9
Como f'(3) < 0 , isso indica que y = 3 é estável.

Passo 5

Agora, vamos representar a linha de fase. Na linha de fase, colocamos os pontos de equilíbrio e analisamos o comportamento de y' em intervalos entre esses pontos.
  • Para y < 0 : Escolha um valor, por exemplo, y = -1 :
y' = 3(-1)^2 - (-1)^3 = 3 + 1 = 4 > 0
Então, y aumenta.
  • Para 0 < y < 3 : Escolha y = 1 :
y' = 3(1)^2 - (1)^3 = 3 - 1 = 2 > 0
Então, y aumenta.
  • Para y > 3 : Escolha y = 4 :
y' = 3(4)^2 - (4)^3 = 48 - 64 = -16 < 0
Então, y diminui.

Passo 6

A partir dessa análise, desenhamos a linha de fase da seguinte maneira:
  • Em y = 0 : Semiestável (apenas estabilidade de um lado).
  • Em y = 3 : Estável (as flechas apontam para o ponto).
  • Para y < 0 e 0 < y < 3 : As flechas apontam para cima, indicando que y aumenta.
  • Para y > 3 : As flechas apontam para baixo, indicando que y diminui.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b) do exercício, que envolve o problema de valor inicial y(0) = y0 .
(i) Para y0 < 0 , queremos calcular limx to infty y(x) .
Observando a linha de fase, para y0 < 0 , sabemos que y está aumentando porque y' > 0 . À medida que x aumenta, y tende a aumentar em direção a 0, que é o próximo ponto de equilíbrio.

Passo 8

Portanto, para y0 < 0 :
limx to infty y(x) = 0

Passo 9

(ii) Para 0 < y0 < 1 , precisamos calcular limx to infty y(x) .
Pela linha de fase, para 0 < y0 < 3 , y está aumentando porque y' > 0 . À medida que x aumenta, y tende a se aproximar de y = 3 , que é uma solução de equilíbrio estável.

Passo 10

Assim, para 0 < y0 < 1 :
limx to infty y(x) = 3

Resposta

(a) As soluções de equilíbrio são y = 0 (semiestável) e y = 3 (estável). A linha de fase mostra y = 0 com flechas apontando para cima para y < 0 e 0 < y < 3 , e y = 3 com flechas apontando para baixo para y > 3 .
(b)
(i) Para y0 < 0 , limx to infty y(x) = 0 .
(ii) Para 0 < y0 < 1 , limx to infty y(x) = 3 .

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