[20 pontos] Considere a equação diferencial autônoma de primeira ordem
.
(a) Encontre as soluções de equilibrio e classifique (estáveis, instáveis ou semiestáveis). Represente a linha de fase.
(b) Considere o Problema de Valor Inicial
,
(i) Para
, calcule o
.
(ii) para
, calcule o
.
[Observe que nesta questão NÃO deve calcular a solução da e.d.o]
(a) Encontre as soluções de equilibrio e classifique (estáveis, instáveis ou semiestáveis). Represente a linha de fase.
(b) Considere o Problema de Valor Inicial
(i) Para
(ii) para
[Observe que nesta questão NÃO deve calcular a solução da e.d.o]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equações diferenciais autônomas de primeira ordem. A equação que temos é
. Vamos precisar entender sobre soluções de equilíbrio e como classificá-las como estáveis, instáveis ou semiestáveis. Também vamos precisar analisar o comportamento das soluções para diferentes condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as soluções de equilíbrio. As soluções de equilíbrio são os valores de
que fazem com que
. Ou seja, precisamos resolver a equação:
Passo 3
Fatorando a equação, temos:
Isso nos dá duas soluções de equilíbrio:
Passo 4
Agora, vamos classificar essas soluções de equilíbrio. Para isso, analisamos a derivada de
em cada ponto de equilíbrio.
Calculando
:
Agora, avaliamos
nas soluções de equilíbrio:
- Para
:
Isso indica que
pode ser semiestável.
- Para
:
Como
, isso indica que
é estável.
Passo 5
Agora, vamos representar a linha de fase. Na linha de fase, colocamos os pontos de equilíbrio e analisamos o comportamento de
em intervalos entre esses pontos.
- Para
: Escolha um valor, por exemplo, :
Então,
aumenta.
- Para
: Escolha :
Então,
aumenta.
- Para
: Escolha :
Então,
diminui.
Passo 6
A partir dessa análise, desenhamos a linha de fase da seguinte maneira:
- Em
: Semiestável (apenas estabilidade de um lado). - Em
: Estável (as flechas apontam para o ponto). - Para
e : As flechas apontam para cima, indicando que aumenta. - Para
: As flechas apontam para baixo, indicando que diminui.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b) do exercício, que envolve o problema de valor inicial
.
(i) Para
, queremos calcular
.
Observando a linha de fase, para
, sabemos que
está aumentando porque
. À medida que
aumenta,
tende a aumentar em direção a 0, que é o próximo ponto de equilíbrio.
Passo 8
Portanto, para
:
Passo 9
(ii) Para
, precisamos calcular
.
Pela linha de fase, para
,
está aumentando porque
. À medida que
aumenta,
tende a se aproximar de
, que é uma solução de equilíbrio estável.
Passo 10
Assim, para
:
Resposta
(a) As soluções de equilíbrio são
(semiestável) e
(estável). A linha de fase mostra
com flechas apontando para cima para
e
, e
com flechas apontando para baixo para
.
(b)
(i) Para ,
.
(ii) Para ,
.
(i) Para
(ii) Para