(a) Use o Teorema de Existência e Unicidade para mostrar que o problema de valor inicial: y^prime(x)=-2 x y^2, y(2)=1 / 3, tem solução única.
(b) Encontre a única solução e determine o maior intervalo de validade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes:
(a) Precisamos mostrar que a equação diferencial dada tem uma solução única usando o Teorema de Existência e Unicidade.
(b) Depois, encontrar essa solução única e descobrir o maior intervalo onde ela vale.
Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs) e especificamente sobre o Teorema de Existência e Unicidade, que garante que, sob certas condições, uma EDO tem exatamente uma solução que passa por um ponto inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema diz que se a função que está multiplicando y' na equação diferencial for contínua em uma região ao redor do ponto inicial e se a derivada parcial em relação a y também for contínua nessa região, então existe uma única solução que passa por esse ponto.
No nosso caso, a equação é y'(x) = -2xy^2 e o ponto inicial é y(2) = 13 .

Passo 3

Vamos verificar as condições do teorema:
A função f(x, y) = -2xy^2 é polinomial em x e y , o que significa que ela é contínua em todo lugar no plano (x, y) . Além disso, a derivada parcial de f em relação a y é partial fpartial y = -4xy , que também é contínua em todo lugar.

Passo 4

Como f(x, y) e partial fpartial y são contínuas em todo R^2 , o Teorema de Existência e Unicidade garante que existe uma única solução para a equação diferencial que passa pelo ponto (2, 13) .

Resposta

(a) Pelo Teorema de Existência e Unicidade, a equação diferencial y'(x) = -2xy^2 com condição inicial y(2) = 13 possui uma solução única.
(b) Resolvendo a equação:
Separando as variáveis:
dyy^2 = -2x , dx
Integrando ambos os lados:
- 1y = -x^2 + C
Simplificando:
1y = x^2 + C
Usando a condição inicial y(2) = 13 :
113 = 2^2 + C implies 3 = 4 + C implies C = -1
Então, a solução é:
y(x) = 1x^2 - 1
O maior intervalo de validade é onde o denominador não é zero, ou seja, x^2 - 1 neq 0 , então x in (-infty, -1) cup (-1, 1) cup (1, infty) . Porém, considerando a condição inicial x = 2 , o intervalo adequado é x in (1, infty) .

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