(a) Use o Teorema de Existência e Unicidade para mostrar que o problema de valor inicial:
, tem solução única.
(b) Encontre a única solução e determine o maior intervalo de validade.
(b) Encontre a única solução e determine o maior intervalo de validade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes:
(a) Precisamos mostrar que a equação diferencial dada tem uma solução única usando o Teorema de Existência e Unicidade.
(b) Depois, encontrar essa solução única e descobrir o maior intervalo onde ela vale.
(a) Precisamos mostrar que a equação diferencial dada tem uma solução única usando o Teorema de Existência e Unicidade.
(b) Depois, encontrar essa solução única e descobrir o maior intervalo onde ela vale.
Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs) e especificamente sobre o Teorema de Existência e Unicidade, que garante que, sob certas condições, uma EDO tem exatamente uma solução que passa por um ponto inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema diz que se a função que está multiplicando
na equação diferencial for contínua em uma região ao redor do ponto inicial e se a derivada parcial em relação a
também for contínua nessa região, então existe uma única solução que passa por esse ponto.
No nosso caso, a equação é
e o ponto inicial é
.
Passo 3
Vamos verificar as condições do teorema:
A função é polinomial em
e
, o que significa que ela é contínua em todo lugar no plano
. Além disso, a derivada parcial de
em relação a
é
, que também é contínua em todo lugar.
A função
Passo 4
Como
e
são contínuas em todo
, o Teorema de Existência e Unicidade garante que existe uma única solução para a equação diferencial que passa pelo ponto
.
Resposta
(a) Pelo Teorema de Existência e Unicidade, a equação diferencial
com condição inicial
possui uma solução única.
(b) Resolvendo a equação:
Separando as variáveis:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Simplificando:
Usando a condição inicial
:
Então, a solução é:
O maior intervalo de validade é onde o denominador não é zero, ou seja,
, então
. Porém, considerando a condição inicial
, o intervalo adequado é
.