Encontre a solução geral das equações diferenciais a seguir:
(a) y d yd x+x e^y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: y dydx + x e^y = 0 . Aqui, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e técnicas de separação de variáveis para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar dydx. Dividindo toda a equação por y, temos:
dydx = -x e^yy

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis y e x. Podemos reescrever a equação assim:
ye^y dy = -x dx
Isso permite que integremos os dois lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados:
integral ye^y dy = integral -x dx
Para a integral à esquerda, usamos uma técnica de integração por partes.

Passo 5

Para integrar integral y e^-y dy, escolhemos:
u = y Rightarrow du = dy
dv = e^-y dy Rightarrow v = -e^-y
Aplicando integração por partes:
integral y e^-y dy = -y e^-y + integral e^-y dy = -y e^-y - e^-y + C
Portanto,
integral ye^y dy = - (y + 1) e^-y + C

Passo 6

Integrando o lado direito:
integral -x dx = -12x^2 + C

Passo 7

Igualando as integrais e reorganizando os termos:
- (y + 1) e^-y = -12x^2 + C
Multiplicando ambos os lados por -1:
(y + 1) e^-y = 12x^2 + C'
Onde C' é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
(y + 1) e^-y = 12x^2 + C

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