Encontre a solução geral das equações diferenciais a seguir:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e técnicas de separação de variáveis para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
. Dividindo toda a equação por
, temos:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis
e
. Podemos reescrever a equação assim:
Isso permite que integremos os dois lados separadamente.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados:
Para a integral à esquerda, usamos uma técnica de integração por partes.
Passo 5
Para integrar
, escolhemos:
Aplicando integração por partes:
Portanto,
Passo 6
Integrando o lado direito:
Passo 7
Igualando as integrais e reorganizando os termos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: