( 20 pontos) Considere a equação diferencial autônoma de primeira ordem y^{\prime}(x)=y^{3}-3 y. (a) Encontre as soluções de equilibrio e classifique-as (assintoticamente estáveis, instáveis ou semiestáveis). Represente a linha de fase.
(b) Sem resolver a equação e baseado na linha de fase, determine o \lim _{x \rightarrow \infty} y(x) para o P.V.I.: \quad y^{\prime}=y^{3}-3 y, y(0)=y_{0}, para o caso em que: (i) y_{0}=2, \quad (ii) 0<y_{0}<1.

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial autônoma de primeira ordem
\displaystyle y'=y^3-3y.
Parte (a): achar os pontos de equilíbrio resolvendo y^3-3y=0, linearizar para classificar cada equilíbrio (assintoticamente estável, instável ou semiestável) e montar a linha de fase indicando setas nas regiões entre esses pontos.
Parte (b): sem resolver explicitamente, usar a linha de fase para deduzir o comportamento de y(x) quando x\to\infty em dois casos de condição inicial y(0)=y_0.

Passo 2

Procuramos os equilíbrios resolvendo
y^3-3y=0
que fatoriza em
y\,(y^2-3)=0.
Logo, os pontos de equilíbrio são
\displaystyle y=0,\quad y=+\sqrt{3},\quad y=-\sqrt{3}.

Passo 3

Para classificar, calculamos a derivada da função do lado direito,
f(y)=y^3-3y,\quad f'(y)=3y^2-3.
Em cada ponto:
\displaystyle f'(0)=3\cdot0^2-3=-3<0 \Rightarrow y=0 é assintoticamente estável.
\displaystyle f'(\pm\sqrt{3})=3\cdot(\sqrt{3})^2-3=6>0 \Rightarrow y=\pm\sqrt{3} são instáveis (repelentes).

Passo 4

Analisamos o sinal de y^3-3y em cada intervalo para desenhar a linha de fase:
  • Para y<-\sqrt{3}: y^2>3 e y<0 \Rightarrow y^3 negativo domina \Rightarrow y^3-3y<0 \Rightarrow seta para a esquerda (decresce).
  • Em -\sqrt{3}<y<0: y^2<3 e y<0 \Rightarrow -3y>0 predomina \Rightarrow y^3-3y>0 \Rightarrow seta para a direita (cresce).
  • Em 0<y<\sqrt{3}: y^2<3 e y>0 \Rightarrow y^3<3y \Rightarrow y^3-3y<0 \Rightarrow seta para a esquerda (decresce).
  • Para y>\sqrt{3}: y^2>3 e y>0 \Rightarrow y^3 domina \Rightarrow y^3-3y>0 \Rightarrow seta para a direita (cresce).
Na linha de fase marcamos em ordem crescente de y:
-\infty \longleftarrow\;{\color{red}{-\sqrt{3}}}\;\longrightarrow\;{\color{blue}{0}}\;\longleftarrow\;{\color{red}{+\sqrt{3}}}\;\longrightarrow+\infty,
onde círculos em vermelho são instáveis e em azul estável.

Passo 5

Usamos a linha de fase para cada condição inicial:
1. Se y_0=2>\sqrt{3}, então em toda vizinhança de y\ge2 a seta aponta para a direita ( y'\!>0), de modo que y(x) cresce sem limite superior. Assim
\lim_{x\to\infty}y(x)=+\infty.
2. Se 0<y_0<1<\sqrt{3}, então y_0 está no intervalo (0,\sqrt{3}) onde a seta aponta para a esquerda ( y'\!<0), de modo que y(x) decresce até o equilíbrio estável y=0. Logo
\lim_{x\to\infty}y(x)=0.

Resposta

(i) \displaystyle \lim_{x\to\infty}y(x)=+\infty.
(ii) \displaystyle \lim_{x\to\infty}y(x)=0.

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