( 20 pontos) Considere a equação diferencial autônoma de primeira ordem
. (a) Encontre as soluções de equilibrio e classifique-as (assintoticamente estáveis, instáveis ou semiestáveis). Represente a linha de fase.
(b) Sem resolver a equação e baseado na linha de fase, determine o
para o P.V.I.:
, para o caso em que: (i)
(ii)
.
(b) Sem resolver a equação e baseado na linha de fase, determine o
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial autônoma de primeira ordem
.
Parte (a): achar os pontos de equilíbrio resolvendo , linearizar para classificar cada equilíbrio (assintoticamente estável, instável ou semiestável) e montar a linha de fase indicando setas nas regiões entre esses pontos.
Parte (b): sem resolver explicitamente, usar a linha de fase para deduzir o comportamento de quando
em dois casos de condição inicial
.
Parte (a): achar os pontos de equilíbrio resolvendo
Parte (b): sem resolver explicitamente, usar a linha de fase para deduzir o comportamento de
Passo 2
Procuramos os equilíbrios resolvendo
que fatoriza em
Logo, os pontos de equilíbrio são
Passo 3
Para classificar, calculamos a derivada da função do lado direito,
Em cada ponto:
é assintoticamente estável.
são instáveis (repelentes).
Passo 4
Analisamos o sinal de
em cada intervalo para desenhar a linha de fase:
- Para
: e negativo domina seta para a esquerda (decresce). - Em
: e predomina seta para a direita (cresce). - Em
: e seta para a esquerda (decresce). - Para
: e domina seta para a direita (cresce).
Na linha de fase marcamos em ordem crescente de
:
onde círculos em vermelho são instáveis e em azul estável.
Passo 5
Usamos a linha de fase para cada condição inicial:
. Se
, então em toda vizinhança de
a seta aponta para a direita (
), de modo que
cresce sem limite superior. Assim
Resposta
(i)
(ii)
(ii)