( \mathbf{2 0} pontos)
A velocidade v de uma partícula no tempo t satisfaz a equação diferencial t \frac{d v}{d t}=v+t, \quad t>0 Sabendo que em t=2, v=8, mostre que v(8)=16(2+\ln 2).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t\,\frac{dv}{dt}=v+t,\quad t>0
com condição inicial v(2)=8, e pede v(8). Trata-se de uma EDO linear de 1.º ordem em v(t).

Passo 2

Reescrevemos no formato padrão
\frac{dv}{dt}-\frac{1}{t}\,v=1.
Aqui o coeficiente de v é -1/t. A fator integrante \mu(t) satisfaz
\mu(t)=\exp\biggl(\int -\frac{1}{t}\,dt\biggr)=t^{-1}.

Passo 3

Multiplicando a EDO por \mu(t)=t^{-1} obtemos
\frac{1}{t}\,\frac{dv}{dt}-\frac{1}{t^2}v =\frac{d}{dt}\Bigl(v\,t^{-1}\Bigr) =\frac{1}{t}.
Integrando em relação a t:
v\,t^{-1}=\int \frac{1}{t}\,dt=\ln t+C,
ou seja
v(t)=t\bigl(\ln t+C\bigr).

Passo 4

Usando v(2)=8 temos
8=2\bigl(\ln 2+C\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \ln 2+C=4 \quad\Longrightarrow\quad C=4-\ln 2.
Logo
v(t)=t\bigl(\ln t+4-\ln2\bigr).

Passo 5

Para t=8:
v(8)=8\bigl(\ln 8+4-\ln2\bigr) =8\bigl(3\ln2+4-\ln2\bigr) =8\bigl(4+2\ln2\bigr) =16\bigl(2+\ln2\bigr).

Resposta

v(8)=16(2+\ln2)

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