( 20 pontos) Determine a solução geral da equação diferencial
(y+x \ln y) d x+\left(x+y e^{y}+\frac{x^{2}}{2 y}\right) d y=0 .

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
(y + x \ln y)\,dx + \Bigl(x + y e^y + \frac{x^2}{2y}\Bigr)\,dy = 0.
Estamos diante de uma equação de primeira ordem que pode ser exata. Para resolver, vamos:
  1. identificar M(x,y) e N(x,y);
  2. testar exatidão via \partial M/\partial y = \partial N/\partial x;
  3. em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \psi(x,y) tal que d\psi = M\,dx+N\,dy;
  4. impor \psi(x,y)=C.

Passo 2

Defina
M(x,y)=y + x\ln y, \qquad N(x,y)=x + y e^y + \frac{x^2}{2y}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =1 + \frac{x}{y}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =1 + \frac{x}{y}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x para y>0, a equação é exata nesse domínio.

Passo 3

Buscamos \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y).
Integrando em x:
\psi(x,y) =\int \bigl(y + x\ln y\bigr)\,dx =xy + \frac{x^2}{2}\ln y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
\frac{\partial \psi}{\partial y} =x + \frac{x^2}{2}\,\frac1y + h'(y) \stackrel!=N(x,y) =x + y e^y + \frac{x^2}{2y}.
Da igualdade vem
h'(y)=y e^y.
Integrando em y:
h(y)=\int y e^y\,dy =y e^y - e^y + \text{const}.
Podemos absorver a constante na constante final da solução.

Passo 5

Assim a função potencial completa é
\psi(x,y) =xy + \frac{x^2}{2}\ln y + y e^y - e^y.
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
\psi(x,y)=C.

Resposta

xy + \frac{x^2}{2}\ln y + y e^y - e^y = C.

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