( 20 pontos) Determine a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Estamos diante de uma equação de primeira ordem que pode ser exata. Para resolver, vamos:
- identificar
e ; - testar exatidão via
; - em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que ; - impor
.
Passo 2
Defina
Calculamos
Como
para
, a equação é exata nesse domínio.
Passo 3
Buscamos
tal que
Integrando em
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Para achar
, usamos
Da igualdade vem
Integrando em
:
Podemos absorver a constante na constante final da solução.
Passo 5
Assim a função potencial completa é
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por