( \mathbf{2 0} pontos) Considere a equação homogênea de grau zero
\frac{d y}{d x}=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}},
com dado inicial y(1)=2. Resolva o problema de valor inicial para x>0. Utilize a substituição v=y / x.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
\frac{dy}{dx} = \frac{x\,y}{x^2+y^2},
com condição inicial y(1)=2 e pede solução para x>0. Vamos usar a substituição v = \frac{y}{x}, de modo que y = v\,x.

Passo 2

Primeiro calculamos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na EDO original e usando y=v\,x no lado direito, obtemos
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x\,(v\,x)}{x^2+(v\,x)^2} = \frac{x^2\,v}{x^2(1+v^2)} = \frac{v}{1+v^2}.
Assim
x\frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v^2} - v = -\,\frac{v^3}{1+v^2}.

Passo 3

A equação é separável:
\frac{1+v^2}{v^3}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int\!\Bigl(v^{-3}+v^{-1}\Bigr)\,dv = \int -\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(-\tfrac1{2v^2} + \ln|v|\Bigr) = -\ln x + C.
Reorganizando,
\ln|v| + \ln x - \frac{1}{2v^2} = C \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl(vx\bigr) - \frac{1}{2v^2} = C.
Como vx = y e v = y/x, isso fica
\ln y \;-\;\frac{x^2}{2\,y^2} = C.

Passo 4

Impondo y(1)=2, achamos
\ln 2 \;-\;\frac{1^2}{2\cdot 2^2} = \ln 2 - \frac{1}{8} = C.
Então a solução implícita satisfaz
\ln y \;-\;\frac{x^2}{2\,y^2} = \ln 2 \;-\;\frac{1}{8}.

Passo 5

A solução do PVI para x>0 é dada implicitamente por
\boxed{\ln y \;-\;\frac{x^2}{2\,y^2} = \ln 2 \;-\;\frac{1}{8}}.

Resposta

\ln y - \frac{x^2}{2y^2} = \ln 2 - \frac{1}{8}.

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