Questão 1
Considere a função
f(x, y, z)=9 x^{9} y \cos \left(x y z^{5}\right).
Determine:
\frac{\partial f}{\partial y}(-5,-8,0)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=9x^{9}y\cos\bigl(xyz^{5}\bigr)
e pede a derivada parcial em relação a y avaliada em (-5,-8,0). O conteúdo que vamos usar é a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial f}{\partial y}, consideramos f como produto de u(x,y,z)=9x^{9}y e v(x,y,z)=\cos\bigl(xyz^{5}\bigr). Pela regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial u}{\partial y}\,v+u\;\frac{\partial v}{\partial y}.
Primeiro,
\frac{\partial u}{\partial y} =9x^{9}.
Segundo, usando a regra da cadeia em v:
\frac{\partial v}{\partial y} =-\sin\bigl(xyz^{5}\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xyz^{5}) =-\sin\bigl(xyz^{5}\bigr)\,x\,z^{5}.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y} =9x^{9}\cos\bigl(xyz^{5}\bigr) -9x^{9}y\,\sin\bigl(xyz^{5}\bigr)\,x\,z^{5}.

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y,z)=(-5,-8,0). Note que xyz^{5}=(-5)(-8)\cdot0^{5}=0, logo
\cos(0)=1 e \sin(0)=0. Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial y}(-5,-8,0) =9(-5)^{9}\cdot1 -9(-5)^{9}(-8)\cdot0\cdot0^{5} =9(-5)^{9}.

Passo 4

Basta calcular (-5)^{9}=-(5^{9})= -1953125, então
9\cdot(-1953125)=-17578125.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial y}(-5,-8,0)=-17578125.

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