Exercício 2. Verifique, em cada um dos itens abaixo, se
.
, munido das operações usuais,
e
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
satisfaz
. Para isso precisamos checar duas condições:
-
. -
.
Passo 2
Vamos achar
. Se
então
é constante (pois
) e também satisfaz
e
. A única constante que vale zero em dois pontos distintos é a constante zero. Logo
Passo 3
Agora vamos ver se
. Calculamos dimensões:
(polinômios de grau
). Em
temos duas condições lineares independentes
e
, portanto
Em
todos os polinômios são constantes, então
Pela fórmula da dimensão da soma de subespaços,
Como
, o subespaço
não ocupa todo
.
Resposta
Não,
, pois embora
, a soma
tem dimensão 3 e não gera todo o espaço de dimensão 4.