Exercício 2. Verifique, em cada um dos itens abaixo, se V=U \oplus W.
V \doteq \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), munido das operações usuais, U \doteq\left\{p \in \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) ; p(1)=p(0)=0\right\} e W \doteq\left\{q \in \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) ; q^{\prime}(t)=0\right., para todo \left.t \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}),\quad U = \{p\in\mathscr{P}_{3}(\mathbb{R})\mid p(0)=0,\;p(1)=0\},\quad W = \{q\in\mathscr{P}_{3}(\mathbb{R})\mid q'(t)=0\;\forall t\in\mathbb{R}\}
satisfaz V = U\oplus W. Para isso precisamos checar duas condições:
  1. U\cap W = \{0\}.
  2. U + W = V.

Passo 2

Vamos achar U\cap W. Se r\in U\cap W então r é constante (pois r'\equiv0) e também satisfaz r(0)=0 e r(1)=0. A única constante que vale zero em dois pontos distintos é a constante zero. Logo
U\cap W = \{0\}\,.

Passo 3

Agora vamos ver se U+W = V. Calculamos dimensões: \dim V = 4 (polinômios de grau <=3). Em U temos duas condições lineares independentes p(0)=0 e p(1)=0, portanto
\dim U = 4 - 2 = 2.
Em W todos os polinômios são constantes, então
\dim W = 1.
Pela fórmula da dimensão da soma de subespaços,
\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U\cap W) = 2 + 1 - 0 = 3.
Como \dim(U+W)=3 < \dim V=4, o subespaço U+W não ocupa todo V.

Resposta

Não, V \neq U\oplus W, pois embora U\cap W=\{0\}, a soma U+W tem dimensão 3 e não gera todo o espaço de dimensão 4.

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