Em cada um dos itens abaixo, dado U subespaço vetorial do espaço vetorial ( V,+, \cdot ), encontre um subespaço suplementar do subespaço vetorial U (isto é, um subespaço vetorial W, do espaço vetorial ( V,+, \cdot ), tal que V=U \oplus W).
V \doteq \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), munido das operações usuais, U \doteq\left\{p \in \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) ; p^{\prime \prime}(t)=0\right., para todo \left.t \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede um suplemento W de
U = \{\,p\in\mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) : p''(t)=0,\\ \forall t\in\mathbb{R}\}
no espaço V=\mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), ou seja, encontrar W tal que
V = U \oplus W.
Aqui a teoria é: \dim V = 4, e para soma direta precisamos de \dim U + \dim W = 4 e U \cap W = \{0\}.

Passo 2

Caracterizamos U. Se p''(t)=0 para todo t, então p é polinômio de grau no máximo 1, logo
U = \{\,at + b : a,b\in\mathbb{R}\},
e por isso \dim U = 2.

Passo 3

Para completar até dimensão 4, escolhemos W de dimensão 2 e que intersecte U apenas em zero. Uma escolha natural é
W = \mathrm{Span}\{\,t^{2},\,t^{3}\}.
De fato, qualquer p\in\mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) escreve-se unicamente como
p(t) = (a_{1}t + a_{0}) + (a_{2}t^{2} + a_{3}t^{3}),
com (a_{1}t + a_{0})\in U e (a_{2}t^{2} + a_{3}t^{3})\in W. Além disso, se um polinômio está em U\cap W, ele tem todas as componentes nulas, ou seja, é o polinômio zero.

Resposta

W = \mathrm{Span}\{\,t^{2},\,t^{3}\}.

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