Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o limite da função existe quando se aproxima de . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Queremos encontrar . Para isso, vamos analisar o limite ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos e verificar se obtemos o mesmo valor.
Passo 3
Vamos começar analisando o caminho onde . Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando tende a 0:
Então, nesse caminho, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos analisar o caminho onde . Substituindo na função:
Calculando o limite quando tende a 0:
Novamente, o limite é 0.
Passo 5
Para garantir que o limite é 0 independentemente do caminho, vamos usar a desigualdade para limitar o valor absoluto de :
Como tende a 0 quando tende a , pelo Teorema do Squeeze (ou Sanduíche), temos que: