(20 pontos) Considere a função
f(x, y)= x^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) L & se (x, y)=(0,0)
(a) (2 pontos) Mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o limite da função existe quando se aproxima de . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
f(x, y)= x^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) L & se (x, y)=(0,0)
Queremos encontrar . Para isso, vamos analisar o limite ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos e verificar se obtemos o mesmo valor.

Passo 3

Vamos começar analisando o caminho onde f(x, 0) = x^3x^2+0^2 = x^3x^2 = x . Substituindo na função:
limx to 0 x = 0
Agora, calculamos o limite quando tende a 0:
Então, nesse caminho, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos analisar o caminho onde f(x, x) = x^3x^2+x^2 = x^32x^2 = x2 . Substituindo na função:
limx to 0 x2 = 0
Calculando o limite quando tende a 0:
Novamente, o limite é 0.

Passo 5

Para garantir que o limite é 0 independentemente do caminho, vamos usar a desigualdade para limitar o valor absoluto de | x^3x^2+y^2 | = |x|^3x^2+y^2 <= |x|^3x^2 = |x| :
lim(x, y) to (0,0) x^3x^2+y^2 = 0
Como tende a 0 quando tende a , pelo Teorema do Squeeze (ou Sanduíche), temos que:

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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