( 20 pontos) Considere o sistema de equações diferenciais de primeira ordem homogêneo:
(a) Use o método matricial para achar a solução geral do sistema.
(b) Encontre a única solução do problema tal que
e
.
(b) Encontre a única solução do problema tal que
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema homogêneo de primeira ordem
e pede (a) a solução geral pelo método matricial e (b) a solução particular com
e
. O conteúdo envolvido é escrever o sistema como
, achar autovalores e autovetores de
, montar a solução geral e impor condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial
Passo 3
Calculamos o polinômio característico de
:
As raízes são
e
.
Passo 4
Para
resolvemos
:
autovetor
.
Para
resolvemos
:
escolhendo
obtemos o autovetor
.
Passo 5
A solução geral do sistema é
ou seja
Passo 6
Impondo as condições iniciais
e
, obtemos o sistema
Subtraindo as equações vem
e, em seguida,
.
Passo 7
Logo, a única solução que satisfaz
,
é
Resposta
(a)
(b)
(b)