( 20 pontos) Considere o sistema de equações diferenciais de primeira ordem homogêneo:
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=-4 x(t)+3 y(t) \\\ y^{\prime}(t)=-2 x(t)+y(t) \end{array}\right.
(a) Use o método matricial para achar a solução geral do sistema.
(b) Encontre a única solução do problema tal que x(0)=2 e y(0)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo de primeira ordem
\begin{cases} x'(t) = -4\,x(t) + 3\,y(t)\\\ y'(t) = -2\,x(t) + 1\,y(t) \end{cases}
e pede (a) a solução geral pelo método matricial e (b) a solução particular com x(0)=2 e y(0)=1. O conteúdo envolvido é escrever o sistema como \mathbf X'=A\mathbf X, achar autovalores e autovetores de A, montar a solução geral e impor condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial
\mathbf X'(t)=A\,\mathbf X(t), \quad A=\begin{pmatrix}-4 & 3\\\\ -2 & 1\end{pmatrix}, \quad \mathbf X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}-4-\lambda & 3\\\\ -2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(-4-\lambda)(1-\lambda)-(-6) =\lambda^2+3\lambda+2=0.
As raízes são
\lambda_1=-1 e \lambda_2=-2.

Passo 4

Para \lambda_1=-1 resolvemos (A+I)v=0:
\begin{pmatrix}-3 & 3\\\\ -2 & 2\end{pmatrix}v=0 \;\Rightarrow\;v_1=v_2,
autovetor v^{(1)}=(1,1)^T.
Para \lambda_2=-2 resolvemos (A+2I)v=0:
\begin{pmatrix}-2 & 3\\\\ -2 & 3\end{pmatrix}v=0 \;\Rightarrow\;v_1=\tfrac32\,v_2,
escolhendo v_2=2 obtemos o autovetor v^{(2)}=(3,2)^T.

Passo 5

A solução geral do sistema é
\mathbf X(t) =C_1 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{-2t}\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix},
ou seja
x(t)=C_1 e^{-t}+3C_2 e^{-2t}, \quad y(t)=C_1 e^{-t}+2C_2 e^{-2t}.

Passo 6

Impondo as condições iniciais x(0)=2 e y(0)=1, obtemos o sistema
C_1+3C_2=2, \quad C_1+2C_2=1.
Subtraindo as equações vem C_2=1 e, em seguida, C_1=-1.

Passo 7

Logo, a única solução que satisfaz x(0)=2, y(0)=1 é
x(t)=-e^{-t}+3e^{-2t}, \quad y(t)=-e^{-t}+2e^{-2t}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf X(t)=C_1 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}+C_2 e^{-2t}\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle x(t)=-e^{-t}+3e^{-2t},\quad y(t)=-e^{-t}+2e^{-2t}.

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