( 20 pontos)
Use a propriedade \mathcal{L}\left\{(-t)^{n} h(t)\right\}=H^{(n)}(s) para calcular \mathcal{L}\left\{t^{2} \cos t\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathcal{L}\{t^{2}\cos t\} usando a propriedade de derivadas da transformada de Laplace. O conteúdo aqui é a propriedade
\mathcal{L}\{t^{n}f(t)\} = (-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}F(s),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.

Passo 2

Identificamos f(t)=\cos t. Sabemos que
F(s)=\mathcal{L}\{\cos t\}=\frac{s}{s^{2}+1}.

Passo 3

Aplicando a propriedade com n=2, obtemos
\mathcal{L}\{t^{2}\cos t\} = (-1)^{2}\frac{d^{2}}{ds^{2}}\biggl(\frac{s}{s^{2}+1}\biggr) = \frac{d^{2}}{ds^{2}}\biggl(\frac{s}{s^{2}+1}\biggr).

Passo 4

Calculamos a primeira derivada:
\frac{d}{ds}\biggl(\frac{s}{s^{2}+1}\biggr) = \frac{(s^{2}+1)\cdot1 - s\cdot2s}{(s^{2}+1)^{2}} = \frac{1 - s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Agora a segunda derivada. Seja g(s)=\dfrac{1 - s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}. Então
g'(s) = \frac{d}{ds}\bigl(1 - s^{2}\bigr)\,(s^{2}+1)^{-2} + (1 - s^{2})\,\frac{d}{ds}(s^{2}+1)^{-2}
= -2s\,(s^{2}+1)^{-2} + (1 - s^{2})\,(-2)\,2s\,(s^{2}+1)^{-3}
= \frac{-2s(s^{2}+1) -4s(1 - s^{2})}{(s^{2}+1)^{3}} = \frac{2s(s^{2}-3)}{(s^{2}+1)^{3}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{2}\cos t\} = \frac{2\,s\,(s^{2}-3)}{(s^{2}+1)^{3}}.

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