Avalie a integral definida.
\int_{0}^{1} \frac{e^{x}+1}{e^{x}+x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1} \frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois notamos que a derivada de e^{x}+x aparece no numerador.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = e^{x} + x
temos
du = (e^{x} + 1)\,dx.
Portanto,
\int_{0}^{1} \frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}\,dx = \int_{u(0)}^{u(1)} \frac{du}{u} = \Bigl[\ln|u|\Bigr]_{u(0)}^{u(1)} = \ln\bigl(e+1\bigr) - \ln\bigl(1\bigr) = \ln\bigl(e+1\bigr).

Resposta

\ln(e+1)

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