(20 pontos) O problema de valor inicial a seguir descreve o movimento de um sistema massa/mola forçado sem amortecimento,
y^{\prime \prime}(t)+6 y^{\prime}(t)+10 y(t)=3 \delta(t-\pi) ; \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 .
Use o método da transformada de Laplace para achar a solução para todo t>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação de um sistema massa–mola com amortecimento viscóide (coeficiente 6) e frequência natural ao quadrado 10, forçado por um impulso 3\,\delta(t-\pi). As condições iniciais são
y(0)=0,\quad y'(0)=0.
Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a EDO em equação algébrica e depois aplicar o teorema do deslocamento no tempo para o delta.

Passo 2

Tomamos a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s),
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0)=sY(s),
\mathcal{L}\{\delta(t-\pi)\}(s)=e^{-\pi s}.
Logo, da EDO
y''+6y'+10y=3\,\delta(t-\pi)
vem
s^2Y(s)+6\,sY(s)+10\,Y(s)=3\,e^{-\pi s}.

Passo 3

Fatorando Y(s), obtemos
(s^2+6s+10)\,Y(s)=3\,e^{-\pi s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{3\,e^{-\pi s}}{s^2+6s+10}.
Repare que
s^2+6s+10=(s+3)^2+1.

Passo 4

Sem o fator exponencial, a transformada inversa de
\displaystyle \frac{1}{(s+3)^2+1}
é
\mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{1}{(s+3)^2+1}\biggr\}(t) =e^{-3t}\sin(t).
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{3}{(s+3)^2+1}\biggr\}(t) =3\,e^{-3t}\sin(t).
O fator e^{-\pi s} desloca no tempo:
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-\pi s}F(s)\}(t) =u(t-\pi)\,f(t-\pi).

Passo 5

Aplicando o deslocamento a
\displaystyle \frac{3}{(s+3)^2+1}, concluímos que
y(t)=u(t-\pi)\;3\,e^{-3\,(t-\pi)}\sin\bigl(t-\pi\bigr).
Como u(t-\pi)=0 para t<\pi, temos solução nula até o instante do impulso.

Resposta

y(t)= \begin{cases} 0, & 0<t<\pi,\\[6pt] 3\,e^{-3\,(t-\pi)}\sin\bigl(t-\pi\bigr), & t>\pi. \end{cases}]

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