(20 pontos) O problema de valor inicial a seguir descreve o movimento de um sistema massa/mola forçado sem amortecimento,
Use o método da transformada de Laplace para achar a solução para todo
.
Passo 1
O enunciado dá a equação de um sistema massa–mola com amortecimento viscóide (coeficiente
) e frequência natural ao quadrado
, forçado por um impulso
. As condições iniciais são
Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a EDO em equação algébrica e depois aplicar o teorema do deslocamento no tempo para o delta.
Passo 2
Tomamos a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
Logo, da EDO
vem
Passo 3
Fatorando
, obtemos
Repare que
Passo 4
Sem o fator exponencial, a transformada inversa de
é
é
Portanto
O fator
desloca no tempo:
Passo 5
Aplicando o deslocamento a
, concluímos que
Como
para
, temos solução nula até o instante do impulso.