Calcule as integrais indefinidas a seguir.
\int v\left(v^{2}+2\right)^{2} d v

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int v\,(v^{2}+2)^{2}\,dv.
O conteúdo da matéria é integração por substituição, pois reconhecemos que a derivada de v^{2}+2 está presente na integral.

Passo 2

Observamos que a função interior v^{2}+2 tem derivada 2v. Como na integral vemos um fator v\,dv, isso sugere a substituição
u = v^{2}+2.

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a v, obtemos
du = 2v\,dv \quad\Longrightarrow\quad v\,dv = \tfrac{1}{2}\,du.

Passo 4

Substituindo u e du na integral, temos
\int v\,(v^{2}+2)^{2}\,dv = \int u^{2}\,\bigl(\tfrac{1}{2}\,du\bigr) = \tfrac{1}{2}\,\int u^{2}\,du.

Passo 5

Aplicando a regra de potência para integrar u^{2}, obtemos
\int u^{2}\,du = \tfrac{u^{3}}{3},
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\tfrac{1}{2}\,\int u^{2}\,du = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{u^{3}}{3} = \tfrac{u^{3}}{6}.

Passo 6

Retornando à variável original v por meio de u = v^{2}+2, concluímos
\int v\,(v^{2}+2)^{2}\,dv = \tfrac{(v^{2}+2)^{3}}{6} + C.

Resposta

\frac{(v^{2}+2)^{3}}{6} + C

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