( 20 pontos) A corrente I\) em determinado circuito elétrico em série é controlada pelo problema de valor inicial \[I^{\prime \prime}(t)+4 I(t)=g(t) ; \quad I(0)=0, \quad I^{\prime}(0)=0
em que
g(t)= \begin{cases}1, & 0<t<1 \\\\ -1, & 1<t<2 \\\\ 0, & 2<t\end{cases}
Determine a corrente como uma função de (t].

Passo 1

O enunciado define o problema de valor inicial
I''(t) + 4\,I(t) = g(t),\quad I(0)=0,\;I'(0)=0,
com
g(t)= \begin{cases} 1, & 0<t<1,\\\\ -1,&1<t<2,\\\\ 0, & t>2. \end{cases}
Este é um EDO linear de 2ª ordem com condições iniciais nulas e forçamento por partes constantes. Vamos usar o método da convolução (ou resposta ao impulso) para obter I(t) em cada faixa de t.

Passo 2

Primeiro, encontramos a resposta ao impulso h(t) associada à equação homogênea
h''(t) + 4\,h(t) = \delta(t),\quad h(0)=0,\;h'(0)=0.
Pela transformada de Laplace ou conhecendo a resposta de um oscilador harmônico amortecido sem amortecimento, obtém-se
h(t)=\frac12\sin(2t),\quad t>0.

Passo 3

Pela convolução, a solução geral com I(0)=I'(0)=0 é
I(t)=\int_{0}^{t}h(t-s)\,g(s)\,\mathrm{d}s =\frac12\int_{0}^{t}\sin\bigl(2(t-s)\bigr)\,g(s)\,\mathrm{d}s.
Como g(s) é definida por partes, quebramos essa integral conforme o valor de t.

Passo 4

Para 0<t<1, temos g(s)=1 em todo [0,t]. Portanto
I(t) =\frac12\int_{0}^{t}\sin\bigl(2(t-s)\bigr)\,\mathrm{d}s =\frac12\int_{0}^{t}\sin(2u)\,\mathrm{d}u \quad\bigl(u=t-s\bigr).
Como
\int_{0}^{t}\sin(2u)\,\mathrm{d}u =-\tfrac12\bigl[\cos(2u)\bigr]_{0}^{t} =\tfrac12\bigl(1-\cos(2t)\bigr),
vem
I(t)=\frac14\bigl(1-\cos(2t)\bigr), \quad 0<t<1.

Passo 5

Para 1<t<2, particionamos
I(t) =\frac12\Bigl(\int_{0}^{1}\sin\bigl(2(t-s)\bigr)\,\mathrm{d}s +\int_{1}^{t}\sin\bigl(2(t-s)\bigr)\,(-1)\,\mathrm{d}s\Bigr).
Calculando cada parte (usando mudança de variável u=t-s) chega-se a
I(t) =\frac14\Bigl(2\cos\bigl(2(t-1)\bigr)-\cos(2t)-1\Bigr), \quad 1<t<2.

Passo 6

Para t>2, temos três intervalos de g:
I(t) =\frac12\Bigl(\int_{0}^{1}\sin(2(t-s))\,\mathrm{d}s +\int_{1}^{2}\sin(2(t-s))\cdot(-1)\,\mathrm{d}s +\int_{2}^{t}\sin(2(t-s))\cdot0\,\mathrm{d}s\Bigr).
Fazendo as integralizadas, obtém-se
I(t) =\frac14\Bigl(2\cos\bigl(2(t-1)\bigr)-\cos(2t)-\cos\bigl(2(t-2)\bigr)\Bigr), \quad t>2.

Resposta

I(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{4}\bigl(1-\cos(2t)\bigr),&0<t<1,\\[1em] \displaystyle \frac{1}{4}\bigl(2\cos\bigl(2(t-1)\bigr)-\cos(2t)-1\bigr),&1<t<2,\\[1em] \displaystyle \frac{1}{4}\bigl(2\cos\bigl(2(t-1)\bigr)-\cos(2t)-\cos\bigl(2(t-2)\bigr)\bigr),&t>2. \end{cases}]

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