(20 pontos) Sabendo que \mathcal{L}\left\{t^{n} f(t)\right\}(s)=(-1)^{n} \frac{d^{n} F}{d s^{n}}(s), onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, verifique que
\mathcal{L}\left\{t^{2} f^{\prime}(t)\right\}(s)=s F^{\prime \prime}(s)+2 F^{\prime}(s) .

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade da transformada de Laplace
\mathcal{L}\{t^{2}f'(t)\}(s)
usando a propriedade
\mathcal{L}\{t^{n}g(t)\}(s)=(-1)^{n}\dfrac{d^{n}}{ds^{n}}G(s)
e o fato de que
\mathcal{L}\{f'(t)\}(s)=sF(s)-f(0),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s).

Passo 2

Aplicando a propriedade com n=2 e g(t)=f'(t), obtemos
\mathcal{L}\{t^{2}f'(t)\}(s) =(-1)^{2}\frac{d^{2}}{ds^{2}}\bigl[\mathcal{L}\{f'(t)\}(s)\bigr] =\frac{d^{2}}{ds^{2}}\bigl[sF(s)-f(0)\bigr].

Passo 3

Calculemos a primeira derivada de sF(s)-f(0):
\frac{d}{ds}\bigl[sF(s)-f(0)\bigr] =F(s)+sF'(s).

Passo 4

Agora computamos a segunda derivada:
\frac{d^{2}}{ds^{2}}\bigl[sF(s)-f(0)\bigr] =\frac{d}{ds}\bigl[F(s)+sF'(s)\bigr] =F'(s)+\bigl(F'(s)+sF''(s)\bigr) =sF''(s)+2F'(s).

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t^{2}f'(t)\}(s)=sF''(s)+2F'(s).

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