(20 pontos) Encontre a transformada de Laplace da função abaixo:
f(t)=e^{2 t} \int_{0}^{t}(t-k)^{3} e^{2 k} d k

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=e^{2t}\int_{0}^{t}(t-k)^{3}e^{2k}\,dk.
Para resolver, vamos usar duas propriedades principais da transformada de Laplace: o teorema da convolução e o teorema do deslocamento na variável s.

Passo 2

Note que
\int_{0}^{t}(t-k)^{3}e^{2k}\,dk
é exatamente a convolução (g*h)(t) definida por
(g*h)(t)=\int_{0}^{t}g(t-k)\,h(k)\,dk
com
g(t)=t^{3}, \quad h(t)=e^{2t}.

Passo 3

Pelo teorema da convolução,
\mathcal{L}\{g*h\}(s)=G(s)\,H(s),
onde
G(s)=\mathcal{L}\{t^{3}\}(s) =\int_{0}^{\infty}t^{3}e^{-st}\,dt =\frac{6}{s^{4}},
H(s)=\mathcal{L}\{e^{2t}\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{2t}e^{-st}\,dt =\frac{1}{s-2}.
Logo,
\mathcal{L}\{g*h\}(s) =\frac{6}{s^{4}}\cdot\frac{1}{s-2} =\frac{6}{s^{4}(s-2)}.

Passo 4

Como f(t)=e^{2t}\,(g*h)(t), aplicamos o teorema do deslocamento:
se
\mathcal{L}\{u(t)\}(s)=U(s), então
\mathcal{L}\{e^{at}u(t)\}(s)=U(s-a).
Aqui a=2 e u(t)=(g*h)(t), portanto
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\mathcal{L}\{g*h\}(s-2).

Passo 5

Substituindo s\to s-2 em \frac{6}{s^{4}(s-2)}, obtemos
F(s) =\frac{6}{(s-2)^{4}\bigl((s-2)-2\bigr)} =\frac{6}{(s-2)^{4}(s-4)}.

Resposta

F(s)=\frac{6}{(s-2)^{4}(s-4)}.

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