Encontre o limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (1 / x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \to 0}\frac{\sin(1/x)}{x}.
O conteúdo aqui envolve análise de funções oscilantes e comportamento de quocientes em que o denominador tende a zero.

Passo 2

Observamos que para todo x\neq0 vale
-1 \le \sin\bigl(1/x\bigr)\le 1.
Dividindo por x e tomando valor absoluto, obtemos
\left|\frac{\sin(1/x)}{x}\right| \le \frac{1}{|x|}.

Passo 3

Como x\to0 implica \tfrac{1}{|x|}\to+\infty, segue que
\left|\frac{\sin(1/x)}{x}\right|\to+\infty.
Isto mostra que \frac{\sin(1/x)}{x} é não só não limitada, mas seu valor absoluto cresce sem limite, impedindo existência de limite finito.

Passo 4

Mesmo que admitíssemos um limite infinito, a expressão muda de sinal infinitas vezes. Por exemplo, defina
x_n = \frac{1}{\tfrac{\pi}{2}+2\pi n} \quad\text{e}\quad y_n = \frac{1}{\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n},
para n\to\infty. Então
\sin\bigl(1/x_n\bigr)=1,\quad \frac{\sin(1/x_n)}{x_n}=\frac1{x_n}\to+\infty,
\sin\bigl(1/y_n\bigr)=-1,\quad \frac{\sin(1/y_n)}{y_n}=-\frac1{y_n}\to-\infty.
Ou seja, a função tende a +\infty em uma sequência e a -\infty em outra.

Resposta

O limite não existe.

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