(20 pontos) Dada a função
.
(a) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
(b) Encontre os máximos e mínimos relativos de
.
(a) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de
(b) Encontre os máximos e mínimos relativos de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(a) os intervalos em que é crescente ou decrescente;
(b) os extremos relativos de .
Para isso vamos usar derivadas: primeiro calculamos , depois estudamos seu sinal e por fim classificamos cada ponto crítico.
(a) os intervalos em que
(b) os extremos relativos de
Para isso vamos usar derivadas: primeiro calculamos
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Os pontos onde
são
e
.
Passo 3
Agora fazemos o estudo de sinal de
. Como o fator
é sempre positivo, basta analisar
:
- Para
, ambos e são negativos, o produto é positivo . - Para
, e , o produto é negativo . - Para
, ambos fatores são positivos .
Logo
é crescente em
e em
,
é decrescente em
.
Passo 4
Para classificar os pontos críticos:
- Em
, muda de positivo para negativo máximo relativo. - Em
, muda de negativo para positivo mínimo relativo.
Calculamos os valores:
Resposta
(a)
cresce em
e decresce em
.
(b) Máximo relativo em com
; mínimo relativo em
com
.
(b) Máximo relativo em