(20 pontos) Dada a função f(x)=x^{3}-\frac{15}{2} x^{2}+12 x-8.
(a) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
(b) Encontre os máximos e mínimos relativos de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-\frac{15}{2}x^{2}+12x-8
e pede:
(a) os intervalos em que f é crescente ou decrescente;
(b) os extremos relativos de f.
Para isso vamos usar derivadas: primeiro calculamos f'(x), depois estudamos seu sinal e por fim classificamos cada ponto crítico.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(x^{3}-\frac{15}{2}x^{2}+12x-8\Bigr) =3x^{2}-15x+12 =3\bigl(x^{2}-5x+4\bigr) =3(x-1)(x-4).
Os pontos onde f'(x)=0 são x=1 e x=4.

Passo 3

Agora fazemos o estudo de sinal de f'(x)=3(x-1)(x-4). Como o fator 3 é sempre positivo, basta analisar (x-1)(x-4):
  • Para x<1, ambos (x-1) e (x-4) são negativos, o produto é positivo \Rightarrow f'(x)>0.
  • Para 1<x<4, (x-1)>0 e (x-4)<0, o produto é negativo \Rightarrow f'(x)<0.
  • Para x>4, ambos fatores são positivos \Rightarrow f'(x)>0.
Logo
\displaystyle f é crescente em (-\infty,1) e em (4,\infty),
\displaystyle f é decrescente em (1,4).

Passo 4

Para classificar os pontos críticos:
  • Em x=1, f' muda de positivo para negativo \Rightarrow máximo relativo.
  • Em x=4, f' muda de negativo para positivo \Rightarrow mínimo relativo.
Calculamos os valores:
f(1)=1-\frac{15}{2}\cdot1+12-8 =1-\frac{15}{2}+12-8 =-\frac{5}{2},
f(4)=4^{3}-\frac{15}{2}\cdot4^{2}+12\cdot4-8 =64-120+48-8 =-16.

Resposta

(a) f cresce em (-\infty,1)\cup(4,\infty) e decresce em (1,4).
(b) Máximo relativo em x=1 com f(1)=-\tfrac{5}{2}; mínimo relativo em x=4 com f(4)=-16.

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