Resolva as seguintes integrais definidas.
\int_{0}^{4}(2 x+1)^{-1 / 2} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4}(2x+1)^{-\tfrac12}\,dx.
Este é um problema de cálculo de integral utilizando substituição, apoiado na regra de potência para antiderivadas.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a substituição
u = 2x + 1,
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du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Também trocamos os limites: quando x=0, u=2\cdot0+1=1; quando x=4, u=2\cdot4+1=9.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u, temos
\int_{0}^{4}(2x+1)^{-\tfrac12}\,dx = \int_{u=1}^{u=9}u^{-\tfrac12}\,\frac{du}{2} = \frac12\int_{1}^{9}u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para antiderivada:
\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,u^{\tfrac12}.
Então
\frac12\int_{1}^{9}u^{-\tfrac12}\,du = \frac12\cdot\bigl[2\,u^{\tfrac12}\bigr]_{1}^{9} = \bigl[u^{\tfrac12}\bigr]_{1}^{9} = \sqrt{9}-\sqrt{1} = 3 - 1 = 2.

Resposta

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