( 20 pontos) Um rebanho de ovelhas é atingido por uma moléstia. É sabido que o número de ovelhas atingido pela doença depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por
f(t)=64 t-\frac{t^{3}}{3}
(a) Qual a razão de expansão da epidemia no 4^{\circ} dia?
(b) Quantas ovelhas serão atingidas pela epidemia no 5^{\circ} dia?

Passo 1

O enunciado nos dá a função que modela o total de ovelhas infectadas após t dias:
f(t)=64\,t-\frac{t^{3}}{3}.
Pede-se (a) a razão de expansão da epidemia no 4º dia e (b) quantas ovelhas serão atingidas no 5º dia. Como “razão de expansão” e “quantas ovelhas serão atingidas num dia” referem-se ao número de ovelhas por dia num instante, vamos usar a derivada f'(t).

Passo 2

Calculamos a derivada de f(t) em relação a t.
f(t)=64\,t-\frac{t^{3}}{3} \quad\Longrightarrow\quad f'(t)=\frac{d}{dt}\Bigl(64\,t\Bigr)-\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{t^{3}}{3}\Bigr) =64 - t^{2}.

Passo 3

Para a razão de expansão no 4º dia, avaliamos f'(t) em t=4:
f'(4)=64 - 4^{2}=64-16=48.
Isto significa que, no 4º dia, a epidemia está infectando aproximadamente 48 ovelhas por dia.

Passo 4

Para saber quantas ovelhas serão atingidas no 5º dia, avaliamos f'(t) em t=5:
f'(5)=64 - 5^{2}=64-25=39.
Ou seja, no 5º dia, espera-se que sejam infectadas cerca de 39 ovelhas.

Resposta

(a) 48 ovelhas por dia.
(b) 39 ovelhas no 5º dia.

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