Calcule y^{\prime}.
y=\frac{\ln \left(x^{2}\right)}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada y' da função
y = \frac{\ln\bigl(x^{2}\bigr)}{x}.
O conteúdo envolvido é a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar logaritmos.

Passo 2

Definimos
f(x) = \ln\bigl(x^{2}\bigr), \quad g(x) = x,
de modo que y = \tfrac{f(x)}{g(x)}.
Para derivar f, aplicamos a regra da cadeia:
f'(x) = \frac{1}{x^{2}}\cdot 2x = \frac{2}{x}.
E claramente
g'(x) = 1.

Passo 3

Pela regra do quociente,
y' = \frac{f'(x)\,g(x) \;-\; f(x)\,g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^{2}} = \frac{\frac{2}{x}\cdot x \;-\; \ln\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 1}{x^{2}} = \frac{2 - \ln\bigl(x^{2}\bigr)}{x^{2}}.

Passo 4

Podemos usar \ln(x^{2}) = 2\ln\lvert x\rvert para reescrever
y' = \frac{2 - 2\ln\lvert x\rvert}{x^{2}} = \frac{2\bigl(1 - \ln\lvert x\rvert\bigr)}{x^{2}}.

Resposta

y' = \frac{2 - \ln\bigl(x^{2}\bigr)}{x^{2}}.

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