Resolva as seguintes integrais indefinidas.
\int\left(x^{4 / 3}+6 x^{2}-x+7\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\bigl(x^{4/3}+6x^{2}-x+7\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é a aplicação da linearidade da integral e da regra de potência
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1,
além de \int a\,dx = a\,x + C para a constante.

Passo 2

Pela linearidade da integral, escrevemos
\int\bigl(x^{4/3}+6x^{2}-x+7\bigr)\,dx = \int x^{4/3}\,dx + \int 6x^{2}\,dx - \int x\,dx + \int 7\,dx.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
  • \displaystyle \int x^{4/3}\,dx = \frac{x^{(4/3)+1}}{(4/3)+1} = \frac{x^{7/3}}{7/3} = \frac{3}{7}\,x^{7/3}.
  • \displaystyle \int 6x^{2}\,dx = 6\cdot\frac{x^{3}}{3} = 2x^{3}.
  • \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
  • \displaystyle \int 7\,dx = 7x.
Somando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos

Resposta

\int\bigl(x^{4/3}+6x^{2}-x+7\bigr)\,dx = \frac{3}{7}\,x^{7/3} + 2x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + 7x + C.

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