(20 pontos)-
Determine a área compreendida entre a parábola y=2-x^{2} e a reta y=-x.

Passo 1

O enunciado pede a área entre a parábola y=2 - x^{2} e a reta y=-x. O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas, que usa integrais definidas e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção resolvendo
2 - x^{2} = -x
ou seja
x^{2} - x - 2 = 0
que fatoriza em (x-2)(x+1)=0. Logo, os pontos de interseção são x=-1 e x=2.

Passo 3

Para saber qual curva está por cima em [-1,2], avalio em x=0:
na parábola y=2-0^{2}=2 e na reta y=-0=0. Como 2>0, a parábola fica acima da reta nesse intervalo. Assim a área é
\int_{-1}^{2}\bigl[\underbrace{(2 - x^{2})}_{\text{parábola}} \;-\;\underbrace{(-x)}_{\text{reta}}\bigr]\,dx =\int_{-1}^{2}(2 - x^{2} + x)\,dx.á

Passo 4

Calculamos a primitiva do integrando:
\int(2 - x^{2} + x)\,dx =2x \;-\;\frac{x^{3}}{3}\;+\;\frac{x^{2}}{2}.

Passo 5

Aplicamos os limites de -1 a 2. Chamando
F(x)=2x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2},
temos
F(2)=4 - \frac{8}{3} + 2 = \frac{10}{3}, \quad F(-1)=-2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{7}{6}.
Portanto,
\text{Área} =F(2)-F(-1) =\frac{10}{3}-\bigl(-\tfrac{7}{6}\bigr) =\frac{10}{3}+\frac{7}{6} =\frac{9}{2}.Á

Resposta

A área compreendida entre as duas curvas é \displaystyle \frac{9}{2}.

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