Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
, definida por
Passo 1
O enunciado dá a transformação
e pede para decidir se
é linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, que exige aditividade e homogeneidade (em particular, o vetor nulo deve ser enviado no escalar zero).
Passo 2
Pela definição,
é linear se e somente se, para todos
e todo escalar
, valem
.
,
.
.
Uma condição necessária (e fácil de checar) é que o vetor zero seja enviado em zero:
Uma condição necessária (e fácil de checar) é que o vetor zero seja enviado em zero:
Passo 3
Calculemos
Isso já viola a condição necessária para linearidade. Logo,
não pode ser linear (nem precisa testar aditividade nem homogeneidade explicitamente).
Resposta
A transformação não é linear, pois
.