Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, definida por T(x, y)=x+y+1

Passo 1

O enunciado dá a transformação
T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R},\quad T(x,y)=x+y+1
e pede para decidir se T é linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, que exige aditividade e homogeneidade (em particular, o vetor nulo deve ser enviado no escalar zero).

Passo 2

Pela definição, T é linear se e somente se, para todos (u,v),(u',v')\in\mathbb{R}^2 e todo escalar c, valem
1. T\bigl((u,v)+(u',v')\bigr)=T(u,v)+T(u',v'),
2. T\bigl(c\,(u,v)\bigr)=c\,T(u,v).
Uma condição necessária (e fácil de checar) é que o vetor zero seja enviado em zero:
T(0,0)=0.

Passo 3

Calculemos
T(0,0)=0+0+1=1\neq 0.
Isso já viola a condição necessária para linearidade. Logo, T não pode ser linear (nem precisa testar aditividade nem homogeneidade explicitamente).

Resposta

A transformação não é linear, pois T(0,0)=1\neq 0.

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