Dada f(x)=\frac{\sqrt[3]{3 x^{2}-1}}{\ln (x+2)}, o valor de f^{\prime}(0) é:
a) 1 .
b) 0 .
c) \frac{1}{2 \ln ^{2}(2)}.
d) 4 \ln (2).

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x)=\frac{\sqrt[3]{3x^{2}-1}}{\ln(x+2)}
e pede f'(0). Para isso vamos usar a regra do quociente
\bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}
e a regra da cadeia para derivar u(x)=\bigl(3x^{2}-1\bigr)^{1/3}.

Passo 2

Definimos
u(x)=\bigl(3x^{2}-1\bigr)^{1/3},\quad v(x)=\ln(x+2).
Calculamos os valores em x=0 e suas derivadas:
u(0)=(-1)^{1/3}=-1,\quad v(0)=\ln2.
Pela regra da cadeia,
u'(x)=\frac{1}{3}\bigl(3x^{2}-1\bigr)^{-2/3}\cdot6x =2x\bigl(3x^{2}-1\bigr)^{-2/3}
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u'(0)=0.
E
v'(x)=\frac{1}{x+2} \quad\Longrightarrow\quad v'(0)=\tfrac12.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente em x=0:
f'(0) =\frac{u'(0)\,v(0)-u(0)\,v'(0)}{\bigl(v(0)\bigr)^{2}} =\frac{0\cdot\ln2-(-1)\cdot\frac12}{(\ln2)^{2}} =\frac{\tfrac12}{\ln^{2}2} =\frac{1}{2\ln^{2}2}.

Resposta

c) \displaystyle \frac{1}{2\ln^{2}2}

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