Dada f(x)=\sqrt{4 \operatorname{sen}^{2}(x)+9 \cos ^{2}(x)}, o valor de f^{\prime}(0) é:
a) 1 .
b) 0 .
c) -5 .
d) 1 / 2.

Passo 1

Temos a função
f(x)=\sqrt{4\operatorname{sen}^2(x)+9\cos^2(x)}
e queremos f'(0). O conteúdo é derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de potências de funções trigonométricas.

Passo 2

Defina
h(x)=4\operatorname{sen}^2(x)+9\cos^2(x),
logo f(x)=\bigl(h(x)\bigr)^{1/2}. Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{h(x)}}\;h'(x).
Calculamos h'(x):
h'(x)=4\cdot2\operatorname{sen}(x)\cos(x)+9\cdot2\cos(x)\bigl(-\operatorname{sen}(x)\bigr) =8\operatorname{sen}(x)\cos(x)-18\operatorname{sen}(x)\cos(x) =-10\operatorname{sen}(x)\cos(x).
Portanto,
f'(x) =\frac{-10\operatorname{sen}(x)\cos(x)}{2\sqrt{4\operatorname{sen}^2(x)+9\cos^2(x)}} =-\frac{5\operatorname{sen}(x)\cos(x)}{\sqrt{4\operatorname{sen}^2(x)+9\cos^2(x)}}.

Passo 3

Agora avaliamos em x=0. Como \operatorname{sen}(0)=0 e \cos(0)=1, o numerador fica zero, então
f'(0)=0.

Resposta

b) 0.

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