(20 pontos) - Resolva as integrais:
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{tg}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\tan(x)\,dx
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas e uso de propriedades de paridade.

Passo 2

Observamos que \tan(x) é uma função ímpar, pois
\tan(-x)=-\tan(x).
Para toda função ímpar f, vale
\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0.
Logo, sem precisar de conta extra,
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\tan(x)\,dx=0.

Passo 3

Para confirmar, achamos a primitiva de \tan(x):
\int\tan(x)\,dx=-\ln\bigl|\cos(x)\bigr|+C.

Passo 4

Avaliação nos limites:
\Bigl[-\ln|\cos(x)|\Bigr]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} =-\ln\bigl|\cos(\tfrac{\pi}{4})\bigr|+\ln\bigl|\cos(-\tfrac{\pi}{4})\bigr|.
Como \cos(\tfrac{\pi}{4})=\cos(-\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt2}{2}, temos
-\ln\!\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)+\ln\!\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)=0.

Resposta

0

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