( 20 pontos) Determine o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{4^{n}}(x-1)^{n}. (não esqueça de analisar a convergência nos extremos do intervalo).
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{2}}{4^{n}}(x-1)^{n}.
Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois analisar os extremos.
Passo 2
Denotemos a_{n} = \frac{n^{2}}{4^{n}}. Pelo teste da razão, avaliamos
L \;=\; \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x-1)^{n+1}}{a_{n}(x-1)^{n}}\right| =\; |x-1|\;\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}/4^{\,n+1}}{n^{2}/4^{\,n}} =\; |x-1|\;\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}}{4\,n^{2}} =\frac{|x-1|}{4}.
A série converge se L<1, ou seja se \frac{|x-1|}{4}<1.