( 20 pontos) Determine o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{4^{n}}(x-1)^{n}. (não esqueça de analisar a convergência nos extremos do intervalo).

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{2}}{4^{n}}(x-1)^{n}.
Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois analisar os extremos.

Passo 2

Denotemos a_{n} = \frac{n^{2}}{4^{n}}. Pelo teste da razão, avaliamos
L \;=\; \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x-1)^{n+1}}{a_{n}(x-1)^{n}}\right| =\; |x-1|\;\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}/4^{\,n+1}}{n^{2}/4^{\,n}} =\; |x-1|\;\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}}{4\,n^{2}} =\frac{|x-1|}{4}.
A série converge se L<1, ou seja se \frac{|x-1|}{4}<1.

Passo 3

Da condição \frac{|x-1|}{4}<1 obtemos
|x-1|<4 \quad\Longrightarrow\quad -4 < x-1 < 4 \quad\Longrightarrow\quad -3 < x < 5.
Portanto o raio de convergência é R=4 e o intervalo aberto é (-3,5).

Passo 4

Em x=5 temos x-1=4, de modo que a série vira
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{2}}{4^{n}}\;4^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}n^{2},
cujos termos gerais n^{2} não tendem a zero. Logo diverge em x=5.

Passo 5

Em x=-3 temos x-1=-4, de modo que a série vira
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{2}}{4^{n}}(-4)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}n^{2}(-1)^{n},
e novamente os termos gerais n^{2}(-1)^{n} não tendem a zero. Logo diverge em x=-3.

Resposta

O intervalo de convergência é \,(-3,5).

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