(
pontos) Considere o sistema de equações diferenciais de primeira ordem homogêneo:
(a) Use o método matricial para achar a solução geral do sistema.
(b) Encontre a única solução do problema tal que
e
.
(b) Encontre a única solução do problema tal que
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo de primeira ordem
e pede (a) a solução geral por método matricial e (b) a solução que satisfaz
e
. Para isso vamos representar o sistema como
e usar autovalores e autovetores de
.
Passo 2
Escrevemos
e montamos o polinômio característico
Resolvendo
achamos
e
.
Passo 3
Para
resolvemos
logo um autovetor é
.
Para resolvemos
Para
logo um autovetor é
.
Passo 4
A solução geral do sistema é
isto é,
Passo 5
Para atender
subtraindo a primeira da segunda vem
e
.
Resposta
(a) A solução geral é
(b) A solução que satisfaz
,
é