( \mathbf{2 5} pontos) Considere o sistema de equações diferenciais de primeira ordem homogêneo:
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=-2 x(t)+y(t) \\\ y^{\prime}(t)=-5 x(t)+4 y(t) \end{array}\right.
(a) Use o método matricial para achar a solução geral do sistema.
(b) Encontre a única solução do problema tal que x(0)=-3 e y(0)=5.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo de primeira ordem
\begin{cases} x'(t)=-2\,x(t)+y(t),\\\ y'(t)=-5\,x(t)+4\,y(t), \end{cases}
e pede (a) a solução geral por método matricial e (b) a solução que satisfaz x(0)=-3 e y(0)=5. Para isso vamos representar o sistema como \mathbf{X}'(t)=A\,\mathbf{X}(t) e usar autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Escrevemos
\mathbf{X}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix},\quad A=\begin{pmatrix}-2 & 1\\\ -5 & 4\end{pmatrix},
e montamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}-2-\lambda & 1\\\ -5 & 4-\lambda\end{pmatrix} =(\\ -2-\lambda)(4-\lambda)+5 =\lambda^2-2\lambda-3.
Resolvendo \lambda^2-2\lambda-3=0 achamos
\lambda_1=3 e \lambda_2=-1.

Passo 3

Para \lambda_1=3 resolvemos
(A-3I)v=0\;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-5 & 1\\\ -5 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \quad\implies\quad v_2=5v_1,
logo um autovetor é \begin{pmatrix}1\\\ 5\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-1 resolvemos
(A+I)v=0\;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ -5 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \quad\implies\quad v_2=v_1,
logo um autovetor é \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

A solução geral do sistema é
\mathbf{X}(t) =C_1\,e^{3t} \begin{pmatrix}1\\\ 5\end{pmatrix} + C_2\,e^{-t} \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},
isto é,
x(t)=C_1\,e^{3t}+C_2\,e^{-t},\quad y(t)=5\,C_1\,e^{3t}+C_2\,e^{-t}.

Passo 5

Para atender x(0)=-3\) e \(y(0)=5\) impomos \[\begin{cases} C_1+C_2=-3,\\\\ 5\,C_1+C_2=5, \end{cases}
subtraindo a primeira da segunda vem 4\,C_1=8\], logo \(C_1=2 e C_2=-5.

Resposta

(a) A solução geral é
x(t)=C_1\,e^{3t}+C_2\,e^{-t},\quad y(t)=5\,C_1\,e^{3t}+C_2\,e^{-t}.
(b) A solução que satisfaz x(0)=-3, y(0)=5 é
x(t)=2\,e^{3t}-5\,e^{-t},\quad y(t)=10\,e^{3t}-5\,e^{-t}.

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