Faça a proposta adequada para a solução particular y_{p}(x) da equação diferencial: y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=g(x), para:
g(x)=2 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' - 3y = g(x),
onde g(x)=2x^2. Para resolver usaremos o método dos coeficientes a determinar, que consiste em propor uma forma para a parte particular y_p(x) conforme o tipo de g(x).

Passo 2

Analisamos a equação homogênea associada
r^2 + 2r - 3 = 0
cuja solução é r=1 e r=-3. Como nenhuma das raízes coincide com zero, não há ressonância com termos polinomiais.

Passo 3

O termo não homogêneo g(x)=2x^2 é um polinômio de grau 2. Pelo método dos coeficientes a determinar, a proposta para y_p(x) deve ser um polinômio de grau 2 com constantes a ajustar:
y_p(x)=Ax^2 + Bx + C.

Resposta

A forma adequada é
y_p(x)=Ax^2 + Bx + C.

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