Faça a proposta adequada para a solução particular y_{p}(x) da equação diferencial: y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=g(x), para:
g(x)=x e^{-3 x} \cos (\pi x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma forma adequada de palpite (ansatz) para a solução particular y_{p}(x) da EDO
y''+2y'-3y = g(x),
em que
g(x)=x\,e^{-3x}\cos(\pi x).
O método de coeficientes a determinar diz que, para termos do tipo
\text{(polinômio de grau }m)\times e^{\alpha x}\cos(\beta x)ô,
devemos usar um palpite da forma
y_p(x)=e^{\alpha x}\bigl[P_m(x)\cos(\beta x)+Q_m(x)\sin(\beta x)\bigr]
porém, se \alpha\pm i\beta for raiz de multiplicidade s da equação característica, multiplicamos por x^s.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à parte homogênea:
r^2+2r-3=0
cuja solução é
r=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}\;\Longrightarrow\;r=1\quad\text{ou}\quad r=-3.
O termo forçante pode ser visto como a parte real de
\;x\,e^{(-3+i\pi)x}, ou seja \alpha=-3 e \beta=\pi.
Como -3+i\pi não é raiz da característica (só -3+0i aparece), não há ressonância complexa, logo s=0.

Passo 3

O polinômio que multiplica o forçante é de grau 1 (pois há o fator x). Assim, o palpite geral é
y_p(x) =e^{-3x}\Bigl[(A\,x+B)\cos(\pi x)+(C\,x+D)\sin(\pi x)\Bigr],
onde A, B, C e D são constantes a determinar.

Resposta

y_p(x) =e^{-3x}\Bigl[(A\,x+B)\cos(\pi x)+(C\,x+D)\sin(\pi x)\Bigr].

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