( \mathbf{2 0} pontos) Considere a equação diferencial linear y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+y=0.
(a) Verifique que x_{0}=0 é um ponto ordinário da equação. Se y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} é uma solução em série de potências na vizinhança de x_{0}=0. Determine a relação de recorrência para os coeficientes dessa série.
(b) Para as condições iniciais y(0)=4 e y^{\prime}(0)=3, escreva os primeiros cinco termos da série. Indique o raio de convergência da série.

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências da equação diferencial linear
y'' - 2x\,y' + y = 0
em torno de x_{0}=0. Primeiro vamos verificar que x_{0}=0 é ponto ordinário e em seguida supor
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}
para determinar a relação de recorrência entre os coeficientes a_{n}. Para a parte (b) aplicaremos as condições iniciais y(0)=4 e y'(0)=3 para obter os primeiros termos da série e o raio de convergência.

Passo 2

A forma padrão é
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0
aqui com p(x)=-2x e q(x)=1. Como p(x) e q(x) são funções analíticas em torno de x=0, concluímos que x_{0}=0 é ponto ordinário.

Passo 3

Supondo
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
temos
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}x^{n-2}.

Passo 4

Substituindo em y'' - 2x\,y' + y=0 e igualando potências de x a zero, obtemos após mudança de índice:
\sum_{m=0}^{\infty}\bigl[(m+2)(m+1)\,a_{m+2} -2m\,a_{m} + a_{m}\bigr]x^{m}=0.
Logo a relação de recorrência é
(m+2)(m+1)\,a_{m+2} +\bigl(1-2m\bigr)\,a_{m}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{m+2}=\frac{2m-1}{(m+2)(m+1)}\,a_{m}.

Passo 5

Pelas condições iniciais y(0)=a_{0}=4 e y'(0)=a_{1}=3. Usando a recorrência:
a_{2}=\frac{2\cdot0-1}{2\cdot1}\,a_{0}=-\tfrac12\cdot4=-2,
a_{3}=\frac{2\cdot1-1}{3\cdot2}\,a_{1}=\tfrac{1}{6}\cdot3=\tfrac12,
a_{4}=\frac{2\cdot2-1}{4\cdot3}\,a_{2}=\tfrac{3}{12}\cdot(-2)=-\tfrac12.

Passo 6

Os primeiros cinco termos da série são
y(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots =4 + 3x - 2x^{2} + \tfrac12x^{3} - \tfrac12x^{4} + \cdots.

Passo 7

Pela forma da recorrência, a série converge para todo x, isto é, o raio de convergência é infinito.

Resposta

y(x)=4 + 3x - 2x^{2} + \tfrac12x^{3} - \tfrac12x^{4} + \cdots
O raio de convergência é R=\infty.

Exercícios relacionados