(
pontos) Considere a equação diferencial linear
.
(a) Verifique que
é um ponto ordinário da equação. Se
é uma solução em série de potências na vizinhança de
. Determine a relação de recorrência para os coeficientes dessa série.
(b) Para as condições iniciais
e
, escreva os primeiros cinco termos da série. Indique o raio de convergência da série.
(a) Verifique que
(b) Para as condições iniciais
Passo 1
O enunciado pede a solução em série de potências da equação diferencial linear
em torno de
. Primeiro vamos verificar que
é ponto ordinário e em seguida supor
para determinar a relação de recorrência entre os coeficientes
. Para a parte (b) aplicaremos as condições iniciais
e
para obter os primeiros termos da série e o raio de convergência.
Passo 2
A forma padrão é
aqui com
e
. Como
e
são funções analíticas em torno de
, concluímos que
é ponto ordinário.
Passo 3
Supondo
temos
Passo 4
Substituindo em
e igualando potências de
a zero, obtemos após mudança de índice:
Logo a relação de recorrência é
Passo 5
Pelas condições iniciais
e
. Usando a recorrência:
Passo 6
Os primeiros cinco termos da série são
Passo 7
Pela forma da recorrência, a série converge para todo
, isto é, o raio de convergência é infinito.
Resposta
O raio de convergência é
.