( \mathbf{2 0} pontos) Determine a solução geral da equação do tipo Bernoulli
3 y^{\prime}(t)+\frac{2}{t} y=\frac{1}{t^{2}+t^{4}} y^{-2}
usando a mudança de variável z=y^{1-n} com o valor de n correspondente para este caso.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Bernoulli
3\,y'(t) + \frac{2}{t}\,y(t) = \frac{1}{t^{2}+t^{4}}\,y(t)^{-2},
e pede a solução geral usando a mudança de variável \displaystyle z = y^{1-n}. Aqui vamos identificar o valor de n e transformar a equação num problema linear em z.

Passo 2

Primeiro, dividimos tudo por 3 para pôr no formato padrão
y' + p(t)\,y = q(t)\,y^{n}.
Temos
y' + \frac{2}{3t}\,y = \frac{1}{3\,(t^{2}+t^{4})}\,y^{-2}.
Comparando com y' + p(t)y = q(t)\,y^{n} vemos que
n = -2,\quad p(t)=\frac{2}{3t},\quad q(t)=\frac{1}{3\,(t^{2}+t^{4})}.

Passo 3

Para Bernoulli, usa-se \displaystyle z = y^{1-n}. Aqui 1-n = 1-(-2)=3, então
z = y^{3}.
Derivando,
z' = 3\,y^{2}\,y'.
Queremos reescrever a equação original em termos de z.

Passo 4

Voltemos à forma não dividida por 3 para facilitar:
3\,y' = \frac{1}{t^{2}+t^{4}}\,y^{-2} - \frac{2}{t}\,y.
Multiplicando por y^{2} obtemos
3\,y^{2}y' = \frac{1}{t^{2}+t^{4}} - \frac{2}{t}\,y^{3}.
Pela relação z'=3y^{2}y' e y^{3}=z, isso vira
z' = \frac{1}{t^{2}(1+t^{2})} - \frac{2}{t}\,z.
Ou seja, chegamos à equação linear em z:
z' + \frac{2}{t}\,z = \frac{1}{t^{2}(1+t^{2})}.

Passo 5

Para resolver
z' + \frac{2}{t}\,z = \frac{1}{t^{2}(1+t^{2})},
calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\!\biggl(\int \frac{2}{t}\,dt\biggr) = t^{2}.
Multiplicando a equação por t^{2}:
t^{2}z' + 2t\,z = \frac{t^{2}}{t^{2}(1+t^{2})} = \frac{1}{1+t^{2}}.
O lado esquerdo é \dfrac{d}{dt}(t^{2}z). Logo
\frac{d}{dt}(t^{2}z) = \frac{1}{1+t^{2}} \quad\Longrightarrow\quad t^{2}z = \int \frac{1}{1+t^{2}}\,dt = \arctan t + C.
Assim
z = \frac{\arctan t + C}{t^{2}}.

Passo 6

Voltando à variável y, lembrando z=y^{3}, temos
y^{3} = \frac{\arctan t + C}{t^{2}} \quad\Longrightarrow\quad y(t) = \Bigl(\frac{\arctan t + C}{t^{2}}\Bigr)^{\!1/3}.

Resposta

A solução geral é
y(t) = \biggl(\frac{\arctan t + C}{t^{2}}\biggr)^{\!1/3},
onde C é constante de integração.

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