(
pontos) Determine a solução geral da equação do tipo Bernoulli
usando a mudança de variável
com o valor de
correspondente para este caso.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Bernoulli
e pede a solução geral usando a mudança de variável
. Aqui vamos identificar o valor de
e transformar a equação num problema linear em
.
Passo 2
Primeiro, dividimos tudo por 3 para pôr no formato padrão
Temos
Comparando com
vemos que
Passo 3
Para Bernoulli, usa-se
. Aqui
, então
Derivando,
Queremos reescrever a equação original em termos de
.
Passo 4
Voltemos à forma não dividida por 3 para facilitar:
Multiplicando por
obtemos
Pela relação
e
, isso vira
Ou seja, chegamos à equação linear em
:
Passo 5
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é
. Logo
Assim
Passo 6
Voltando à variável
, lembrando
, temos
Resposta
A solução geral é
onde
é constante de integração.