3a Questao Integral de Superficie
Considere o campo vetorial:
Superficie S:
, com
e
Vetor normal com componente z positiva:
Produto escalar:
Integral:
Integral_S K. dS = Integral_0^3 Integral_0^{4-x} [
Resultado final:
Integral_0^3
Integral_0^3
Integral_S K. dS = Integral_0^3 Integral_0^{4-x} [
Integral_0^3
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da superfície
dada por
, com
e
.
Conteúdo: integral de superfície via parametrização em
. Vamos parametrizar
, computar o vetor normal (orientado para cima), formar
e avaliar a integral dupla.
Passo 2
Parametrização:
Calculamos
então o vetor normal orientado para cima é
Passo 3
Substituindo na parametrização, temos
Logo o produto escalar é
Passo 4
A integral de superfície vira
Separamos em três integrais:
Passo 5
Avaliaremos as integrais em
:
A integral fica
Passo 6
Calculamos a parte numérica final. Primeiro,
Passo 7
Em seguida,
Logo
Passo 8
Somando as partes numéricas: