3a Questao Integral de Superficie

Considere o campo vetorial:
\mathrm{K}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(\mathrm{h}(\mathrm{x}), \mathrm{x}^{\wedge} 2 \mathrm{y}, 1\right)
Superficie S: z=4-x-y, com 0<=x<=3 e 0<=y<=4-x
Vetor normal com componente z positiva:
n d S=(1,1,1) d x d y
Produto escalar:
K . n=h(x)+x^{\wedge} 2 y+1
Integral:
Integral_S K. dS = Integral_0^3 Integral_0^{4-x} [ \left.h(x)+x^{\wedge} 2 y+1\right] d y d x
Resultado final:
Integral_0^3 \mathrm{h}(\mathrm{x})(4-\mathrm{x}) \mathrm{dx}+ Integral_0^3 \left[\mathrm{x}^{\wedge} 2(4-\mathrm{x})^{\wedge} 2 / 2\right] \mathrm{dx}+15 / 2

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
K(x,y,z)=\bigl(h(x),\,x^2y,\,1\bigr)
através da superfície S dada por z=4-x-y, com 0\le x\le3 e 0\le y\le4-x.
Conteúdo: integral de superfície via parametrização em x,y. Vamos parametrizar S, computar o vetor normal (orientado para cima), formar K\cdot n e avaliar a integral dupla.

Passo 2

Parametrização:
r(x,y)=(x,y,4-x-y), \quad 0\le x\le3,\; 0\le y\le4-x.
Calculamos
r_x=(1,0,-1), \quad r_y=(0,1,-1),
então o vetor normal orientado para cima é
n\,dS = r_x\times r_y\,dx\,dy = (1,1,1)\,dx\,dy.

Passo 3

Substituindo na parametrização, temos
K\bigl(r(x,y)\bigr) = \bigl(h(x),\,x^2y,\,1\bigr).
Logo o produto escalar é
K\cdot n = h(x) + x^2y + 1.

Passo 4

A integral de superfície vira
\iint_{S}K\cdot n\,dS = \int_{x=0}^{3}\!\int_{y=0}^{4-x}\bigl[h(x)+x^2y+1\bigr]\,dy\,dx.
Separamos em três integrais:
\int_{0}^{3}\!\int_{0}^{4-x}h(x)\,dy\,dx + \int_{0}^{3}\!\int_{0}^{4-x}x^2y\,dy\,dx + \int_{0}^{3}\!\int_{0}^{4-x}1\,dy\,dx.

Passo 5

Avaliaremos as integrais em y:
\int_{0}^{4-x}h(x)\,dy = h(x)\,(4-x),
\int_{0}^{4-x}x^2y\,dy = x^2\frac{(4-x)^2}{2},
\int_{0}^{4-x}1\,dy = 4-x.
A integral fica
\int_{0}^{3}h(x)(4-x)\,dx + \int_{0}^{3}x^2\frac{(4-x)^2}{2}\,dx + \int_{0}^{3}(4-x)\,dx.

Passo 6

Calculamos a parte numérica final. Primeiro,
\int_{0}^{3}(4-x)\,dx = \Bigl[4x-\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{3} =12-\tfrac{9}{2}=\tfrac{15}{2}.

Passo 7

Em seguida,
\int_{0}^{3}x^2(4-x)^2\,dx =\int_{0}^{3}(16x^2-8x^3+x^4)\,dx =144-162+48{,}6 =\tfrac{153}{5}.
Logo
\int_{0}^{3}x^2\frac{(4-x)^2}{2}\,dx =\frac{1}{2}\cdot\tfrac{153}{5} =\tfrac{153}{10}.

Passo 8

Somando as partes numéricas:
\tfrac{153}{10}+\tfrac{15}{2} =\tfrac{153}{10}+\tfrac{75}{10} =\tfrac{228}{10} =\tfrac{114}{5}.

Resposta

\iint_{S}K\cdot n\,dS =\int_{0}^{3}h(x)(4-x)\,dx +\frac{114}{5}.

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