( 20 pontos) Encontre a solução do PVI abaixo:
-2 y^prime prime-10 y^prime-12 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
-2,y''(x)-10,y'(x)-12,y(x)=0, y(0)=2, y'(0)=3
Este é um caso de EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão, dividindo ambos os lados por -2:
y''(x)+5,y'(x)+6,y(x)=0

Passo 3

Escrevemos a equação característica associada, trocando y''mapsto r^2, y'mapsto r e ymapsto1:
r^2+5r+6=0
Fatorando, obtemos
(r+2)(r+3)=0Longrightarrow r=-2,;-3

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x)=C1 e^-2x+C2 e^-3x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Calculamos a derivada para usar y'(0)=3:
y'(x)=-2C1e^-2x-3C2e^-3x

Passo 6

Impondo as condições em x=0:
y(0)=C1+C2=2,
y'(0)=-2C1-3C2=3
Esse sistema dá
C1+C2=2, -2C1-3C2=3, Longrightarrow C1=9,;C2=-7

Resposta

y(x)=9,e^-2x-7,e^-3x

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