• Questão 47. Um estudo demográfico modela a população P de uma comunidade (em milhares de habitantes) pela função
P(Q)=3 Q^2+4 Q+200
onde Q é um índice de qualidade de vida que varia de Q=0 (qualidade extremamente baixa) a Q=10 (quantidade excelente). Suponha que o índice varia com o tempo de tal forma que daqui a t anos,
P(Q)=t^2+2 t+32 t+1
para 0 <= t <= 10.
a) Qual será o valor do índice de qualidade de vida daqui a 4 anos? Qual será a população nesta ocasião?
b) Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 4 anos? A população estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião?

Passo 1

O enunciado modela a população P (em milhares) como uma função quadrática de um índice de qualidade de vida Q,
e esse índice varia com o tempo t segundo uma função racional. Vamos precisar de:
• a composição de funções para obter P em função de t,
• derivada de função composta (regra da cadeia),
• regra do quociente para derivar Q(t).

Passo 2

Primeiro vamos achar o índice de qualidade de vida daqui a 4 anos usando
a expressão
Q(t)=t^2+2t+32t+1
Substituindo t=4 temos
Q(4)=4^2+2cdot4+32cdot4+1=16+8+39=279=3

Passo 3

Com Q(4)=3, agora calculamos a população nessa ocasião usando
P(Q)=3Q^2+4Q+200
Substituindo Q=3:
P(3)=3cdot3^2+4cdot3+200=27+12+200=239
Portanto, a população será de 239 mil habitantes.

Passo 4

Para a taxa de variação dP/dt usamos a regra da cadeia:
dPdt=dPdQcdotdQdt
Calculamos cada parte: a derivada de P em relação a Q é
P'(Q)=6Q+4,
então em Q=3
P'(3)=6cdot3+4=22
Para Q’(t) usamos a regra do quociente em
Q(t)=t^2+2t+32t+1
Assim
Q'(t)=(2t+2)(2t+1)-(t^2+2t+3)cdot2(2t+1)^2

Passo 5

Agora avaliamos Q’(t) em t=4:
Q'(4)=(2cdot4+2)(2cdot4+1)-2(4^2+2cdot4+3)(2cdot4+1)^2 =(10)(9)-2(27)9^2=90-5481=3681=49
Logo
dPdt|t=4=P'(3)cdot Q'(4)=22cdot49=889approx9,78
e esse valor positivo indica que a população está aumentando.

Passo 6

Portanto, daqui a 4 anos o índice de qualidade de vida será 3, a população será 239 mil habitantes, e a taxa de variação da população naquele instante será de aproximadamente 9{,}78 mil habitantes por ano, ou seja, a população estará aumentando.

Resposta

a) Q(4)=3 e P=239 (mil habitantes). b) dP/dt(4)=88/9≈9,78 (mil hab./ano), ou seja, a população está aumentando.

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