- Questão 47. Um estudo demográfico modela a população
de uma comunidade (em milhares de habitantes) pela função
onde
é um índice de qualidade de vida que varia de
(qualidade extremamente baixa) a
(quantidade excelente). Suponha que o índice varia com o tempo de tal forma que daqui a
anos,
para
.
a) Qual será o valor do índice de qualidade de vida daqui a 4 anos? Qual será a população nesta ocasião?
b) Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 4 anos? A população estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião?
a) Qual será o valor do índice de qualidade de vida daqui a 4 anos? Qual será a população nesta ocasião?
b) Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 4 anos? A população estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião?
Passo 1
O enunciado modela a população P (em milhares) como uma função quadrática de um índice de qualidade de vida Q,
e esse índice varia com o tempo t segundo uma função racional. Vamos precisar de:
• a composição de funções para obter P em função de t,
• derivada de função composta (regra da cadeia),
• regra do quociente para derivar Q(t).
e esse índice varia com o tempo t segundo uma função racional. Vamos precisar de:
• a composição de funções para obter P em função de t,
• derivada de função composta (regra da cadeia),
• regra do quociente para derivar Q(t).
Passo 2
Primeiro vamos achar o índice de qualidade de vida daqui a 4 anos usando
a expressão
a expressão
Substituindo t=4 temos
Passo 3
Com Q(4)=3, agora calculamos a população nessa ocasião usando
Substituindo Q=3:
Portanto, a população será de 239 mil habitantes.
Passo 4
Para a taxa de variação dP/dt usamos a regra da cadeia:
Calculamos cada parte: a derivada de P em relação a Q é
então em Q=3
Para Q’(t) usamos a regra do quociente em
Assim
Passo 5
Agora avaliamos Q’(t) em t=4:
Logo
e esse valor positivo indica que a população está aumentando.
Passo 6
Portanto, daqui a 4 anos o índice de qualidade de vida será 3, a população será 239 mil habitantes, e a taxa de variação da população naquele instante será de aproximadamente 9{,}78 mil habitantes por ano, ou seja, a população estará aumentando.
Resposta
a) Q(4)=3 e P=239 (mil habitantes). b) dP/dt(4)=88/9≈9,78 (mil hab./ano), ou seja, a população está aumentando.