1. Sejam A(-7,4) e B(5,-12) pontos no plano.
    a) Encontre a inclinação da reta que contém A e B.
    b) Encontre uma equação da reta que passa por A e B. Quais são as intersecções com os eixos?
    c) Encontre o ponto médio do segmento A B.
    d) Encontre o comprimento do segmento A B.
    e) Encontre uma equação para a mediatriz de A B.
    f) Encontre uma equação para o círculo para o qual A B é um diâmetro.
  2. Esboce a região do plano x y definidas pelas equações ou inequações.
    a) -1 <= y <= 3
    b) |x|<4 e |y|<2
    c) y<1-12 x
    d) y >= x^2-1
    e) x^2+y^2<4

Passo 1

O enunciado apresenta dois problemas de geometria analítica. No exercício 4 temos dois pontos A(-7,4) e B(5,-12) e pedem-se:
  1. inclinação da reta AB,
  2. equação da reta AB e interseções com os eixos,
  3. ponto médio de AB,
  4. comprimento de AB,
  5. equação da mediatriz de AB,
  6. equação do círculo cujo diâmetro é AB.
    No exercício 5 precisamos descrever/esboçar as regiões do plano definidas por várias condições sobre x e y.

Passo 2

Calculamos a inclinação m da reta que passa por A e B usando a fórmula
m = yB - yAxB - xA
Substituindo A(-7,4) e B(5,-12),
m = -12 - 45 - (-7) = -1612 = -43

Passo 3

Para a equação da reta usamos a forma ponto-inclinação:
y - yA = m,(x - xA)
Logo,
y - 4 = -tfrac43,(x + 7)
Podemos escrever em forma geral:
y = -tfrac43x - tfrac283 + 4 = -tfrac43x + tfrac12-283 = -tfrac43x - tfrac163
Interseções:
– eixo y ( x=0):
y(0) = -tfrac163
– eixo x ( y=0):
0 = -tfrac43x - tfrac163 ;Rightarrow; -4x - 16 = 0 ;Rightarrow; x = -4

Passo 4

O ponto médio M de AB tem coordenadas
Ml(tfracxA + xB2,,tfracyA + yB2r) = l(tfrac-7+52,,tfrac4+(-12)2r) = l(-1,,-4r)

Passo 5

O comprimento de AB é dado por
AB = raiz(xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 = raiz12^2 + (-16)^2 = raiz144 + 256 = raiz400 = 20

Passo 6

A mediatriz de AB é a reta perpendicular a AB que passa por M(-1,-4). A inclinação de AB é m=-tfrac43, então a da mediatriz é o negativo do inverso:
mperp = 34
Usando ponto-inclinação,
y + 4 = tfrac34(x + 1) ;Longrightarrow; y = tfrac34x + tfrac34 - 4 = tfrac34x - tfrac134

Passo 7

O círculo com diâmetro AB tem centro em M(-1,-4) e raio r = tfracAB2 = 10. Logo a equação é
(x + 1)^2 + (y + 4)^2 = 10^2 = 100

Passo 8

Descrevemos as regiões do exercício 5:
(a) -1 <= y <= 3 é a faixa horizontal do plano entre as retas y=-1 e y=3, incluindo as bordas.
(b) lvert xrvert <4 e lvert yrvert <2 é o retângulo aberto com vértices em (pm4,pm2).
(c) y < 1 - tfrac12 x é o semiplano abaixo da reta y=1-tfrac12x (reta de inclinação -tfrac12, intercepto 1).
(d) y >= x^2 -1 é a região acima (e na) parábola y=x^2-1.
(e) x^2 + y^2 < 4 é o interior do círculo de raio 2 centrado na origem (sem incluir a circunferência).

Resposta

a) m=-tfrac43
b) y=-tfrac43x-tfrac163,;x-int=-4,;y-int=-tfrac163
c) M(-1,-4)
d) AB=20
e) y=tfrac34x-tfrac134
f) (x+1)^2+(y+4)^2=100
5a) faixa horizontal entre y=-1 e y=3.
5b) retângulo aberto lvert xrvert<4,lvert yrvert<2.
5c) semiplano y<1-tfrac12x.
5d) região y>= x^2-1.
5e) interior do círculo x^2+y^2<4.

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