Calcule o laplaciano do campo escalar f(r, theta, phi)=r^2+r^3 sin ^4 theta+3 tan phi, em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede o laplaciano de f(r,theta,phi)=r^2+r^3sin^4theta+3tanphi em coordenadas esféricas. O conteúdo aqui é a aplicação da fórmula do laplaciano para funções escalares em coordenadas esféricas, que é
nabla^2 f = 1r^2partialpartial rl(r^2partial fpartial rr) + 1r^2sinthetapartialpartial thetal(sintheta,partial fpartial thetar) + 1r^2sin^2thetapartial^2fpartial phi^2
Para resolver, vamos calcular separadamente cada uma das três parcelas acima.

Passo 2

Calculemos o termo radial
1r^2partialpartial rl(r^2partial fpartial rr)
Primeiro
partial fpartial r =2r+3r^2sin^4theta,
logo
r^2partial fpartial r =2r^3+3r^4sin^4theta
Diferenciando em relação a r,
partialpartial rl(r^2partialrfr) =6r^2+12r^3sin^4theta,
e dividindo por r^2 obtemos
1r^2partialpartial rl(r^2partialrfr) =6+12,r,sin^4theta

Passo 3

Agora o termo polar
1r^2sinthetapartialpartial thetal(sintheta,partial fpartial thetar)
Temos
partial fpartial theta =r^3cdot4sin^3thetacostheta,
então
sintheta,partial fpartial theta =4r^3sin^4thetacostheta
Diferenciando em theta,
partialpartial thetal(sintheta,partialthetafr) =16r^3sin^3thetacos^2theta -4r^3sin^5theta
Por fim,
1r^2sinthetapartialpartial thetal(sintheta,partialthetafr) =16,r,sin^2thetacos^2theta -4,r,sin^4theta

Passo 4

E o termo azimutal
1r^2sin^2thetapartial^2fpartial phi^2
Como a parte em phi é 3tanphi,
partial fpartial phi=3sec^2phi, partial^2fpartial phi^2 =6sec^2phitanphi
Logo
1r^2sin^2thetapartial^2fpartial phi^2 =6,sec^2phi,tanphir^2sin^2theta

Passo 5

Somando os três termos:
nabla^2 f = l[6+12rsin^4thetar] + l[16rsin^2thetacos^2theta-4rsin^4thetar] + 6,sec^2phi,tanphir^2sin^2theta
Agrupando:
nabla^2 f =6 +8rsin^4theta +16rsin^2thetacos^2theta +6,sec^2phi,tanphir^2sin^2theta

Resposta

nabla^2 f =6+8rsin^4theta+16rsin^2thetacos^2theta +6,sec^2phi,tanphir^2sin^2theta

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