Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
t^3 y^prime+4 t^2 y=e^-t y(-1)=0, t<0

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO
t^3y' + 4t^2y = e^-t, y(-1)=0,;t<0
Trata-se de uma equação linear de primeira ordem. Vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividindo por t^3, escrevemos em forma padrão:
y' + 4t,y = e^-tt^3
O fator integrante é
mu(t) = expl(integral 4t,dtr) = expl(4ln|t|r) = t^4
(para t<0, |t|=-t, mas (-t)^4=t^4).

Passo 3

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=t^4 obtemos
t^4y' + 4t^3y = t^4,e^-tt^3 = t,e^-t,
ou seja,
ddtl(t^4yr) = t,e^-t
Integramos ambos os lados:
t^4y = integral t,e^-t,dt = -t,e^-t - e^-t + C

Passo 4

A solução geral é
y(t) = -t,e^-t - e^-t + Ct^4
Usando y(-1)=0: no numerador em t=-1 temos
-(-1)e^1-e^1+C = e^1-e^1+C = C,
e o denominador é (-1)^4=1. Logo 0=C.

Passo 5

A solução particular fica
y(t) = -,(t+1),e^-tt^4, t<0

Passo 6

Para o gráfico de y(t) em t<0, note:
  • Há assíntota vertical em t=0 pois y(t)to-infty quando tto0^-.
  • Quando tto -infty, e^-t domina e y(t)to+infty.
  • A função zera em t=-1: para t<-1 tem y(t)>0, para -1<t<0 tem y(t)<0.
Esboço qualitativo: inicia em +infty quando tto-infty, decresce cruzando a origem no ponto (-1,0) e desce até -infty em tto0^-.

Resposta

y(t) = -,(t+1),e^-tt^4, t<0
Gráfico qualitativo conforme descrito acima.

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