Questão 5. Resolva cada um dos item abaixo.
Calcule a derivada da função f(x)=3 \sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 3 \sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}}
Esse é um problema de derivação de função composta, envolvendo uma raiz de índice 3 (ou potência 1/3) aplicada a uma razão \frac{x-1}{x+1}. Vamos usar a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Reescrevemos f como composição de duas funções:
u(x) = \frac{x-1}{x+1}, \quad g(u) = 3\,u^{1/3},
de modo que f(x)=g\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia:
f'(x) = g'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot u'(x).
Primeiro, g(u)=3\,u^{1/3} tem derivada
g'(u) = 3\cdot\frac{1}{3}\,u^{-2/3} = u^{-2/3}.

Passo 4

Agora calculamos u'(x) usando a regra do quociente:
u(x) = \frac{x-1}{x+1} \quad\Longrightarrow\quad u'(x) = \frac{(1)(x+1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x +1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}.

Passo 5

Substituímos em f'(x):
f'(x) = g'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x) = \bigl(u(x)\bigr)^{-2/3}\,\frac{2}{(x+1)^2} = \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{-2/3}\,\frac{2}{(x+1)^2}.
Para simplificar, note que
\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{-2/3} = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2/3},
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f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2}\,\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2/3}.

Resposta

f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2}\,\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2/3}, \quad x\neq -1,\;x\neq 1.

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