(20 pontos) O problema abaixo controla um sistema massa-mola no qual a massa é liberada do repouso 1 m abaixo da posição de equilíbrio e, após \pi segundos, a massa é atingida por um martelo exercendo um impulso sobre ela:
y^{\prime \prime}(t)+9 y=3 \delta(t-\pi), \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0,
onde y(t) indica o deslocamento da massa a partir de equilíbrio. Determine y(t).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear forçada por um impulso:
y''(t)+9\,y(t)=3\,\delta(t-\pi),
com condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0.
O conteúdo aqui é usar transformada de Laplace para lidar com a força 3\,\delta(t-\pi) e depois inverter para obter y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Se denotarmos Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}, temos
\mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-s,
\mathcal L\{9\,y\}=9\,Y(s),
\mathcal L\{3\,\delta(t-\pi)\}=3\,e^{-\pi s}.
Logo a equação vira
s^2Y(s)-s +9\,Y(s)=3\,e^{-\pi s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\bigl(s^2+9\bigr)=s+3\,e^{-\pi s}.
Isolando Y(s),
Y(s)=\frac{s}{s^2+9} \;+\;\frac{3\,e^{-\pi s}}{s^2+9}.

Passo 3

Agora vamos inverter cada parcela de Y(s).
1. Para \displaystyle \frac{s}{s^2+9} sabemos que
\mathcal L\{\,\cos(3t)\}=\frac{s}{s^2+9},
logo a primeira parte gera \cos(3t).
2. Para \displaystyle \frac{3\,e^{-\pi s}}{s^2+9} usamos o teorema do deslocamento:
\mathcal L\{u(t-\pi)\,f(t-\pi)\}=e^{-\pi s}F(s),
onde aqui F(s)=1/(s^2+9) é a transformada de \,(1/3)\sin(3t). Portanto
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\frac{3\,e^{-\pi s}}{s^2+9}\Bigr\} =3\;u(t-\pi)\,\frac{1}{3}\sin\bigl(3\,(t-\pi)\bigr) = u(t-\pi)\,\sin\bigl(3(t-\pi)\bigr).

Passo 4

Somando as duas partes, obtemos a solução completa
y(t)=\cos(3t)+u(t-\pi)\,\sin\bigl(3(t-\pi)\bigr).
Em forma de função por partes, isto é equivalente a
y(t)= \begin{cases} \cos(3t),&0\le t<\pi,\\[6pt] \cos(3t)+\sin\bigl(3(t-\pi)\bigr),&t\ge\pi. \end{cases}
]

Resposta

y(t)=\cos(3t)+u(t-\pi)\,\sin\bigl(3(t-\pi)\bigr).

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