(20 pontos) O problema abaixo controla um sistema massa-mola no qual a massa é liberada do repouso 1 m abaixo da posição de equilíbrio e, após
segundos, a massa é atingida por um martelo exercendo um impulso sobre ela:
onde
indica o deslocamento da massa a partir de equilíbrio. Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear forçada por um impulso:
com condições iniciais
O conteúdo aqui é usar transformada de Laplace para lidar com a força
e depois inverter para obter
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Se denotarmos
, temos
Logo a equação vira
Isolando
,
Passo 3
Agora vamos inverter cada parcela de
.
. Para
sabemos que
logo a primeira parte gera
.
. Para
usamos o teorema do deslocamento:
onde aqui
é a transformada de
. Portanto
Passo 4
Somando as duas partes, obtemos a solução completa
Em forma de função por partes, isto é equivalente a
]